Prawa De Morgana
| Prawa De Morgana |
|---|
| Polecane artykuły |
Prawa de Morgana - rodzina praw logiki – zawsze prawdziwych zdań w logice - noszących nazwę pochodzącą od nazwiska jego odkrywcy, jakim jest August de Morgan. Oryginalne hasła należą do rachunku klas, jednak ich rodzina odnajduje swoje miejsce także w prawach dotyczących zdań oraz predykantów (występują zmienne w zdaniu przyjmujące wartości zarówno prawdziwe jak i fałszywe oraz posiadają formę złożoną)
Prawa logiki
Prawa logiki nazywane także tautologią, są to zdania logiczne, które zawsze będą prawdziwe, bez względu na wartość logiczną, z której są zbudowane. Na ich podstawie szacuje się wynikanie logiczne jednych zdań z drugich. Stanowią podstawę operacji w logice.
August de Morgan
August de Morgan- angielski matematyk i logik. Urodzony 27 czerwca 1806 roku w Maduraju (Indie). Od 1828 roku do 1866 roku, z pięcioletnią przerwą w 1831 r. wykładał matematykę w londyńskim University College. Po wielu latach badań nad sylogistyką opracował prawa, nazwane w późniejszym czasie jego nazwiskiem. Był jedynym z przyczyniających się do powstania logiki matematycznej, rozszerzając logikę arystotelesowską. Wprowadził termin „indukcja matematyczna”. Zajmował się także innymi dziedzinami matematyki. Były to: algebra, prawdopodobieństwo, historia matematyki. Zmarł 18 marca 1871 roku w Londynie.
I Prawo de Morgana
I prawo De Morgana jest prawem zaprzeczenia koniunkcji. Określa się je wzorem: ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q). Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań (∼(p ∧ q)) jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań ((∼p) ∨ (∼q)) (Lapis W. 2014 s. 19).
Tabela poniżej przedstawia zestaw wartości logicznych w I Prawie de Morgana:
| p | q | p ∧ q | ~(p ∧ q) | ~p | ~q | (∼p) ∨ (∼q) | ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
II Prawo de Morgana
II prawo de Morgana jest prawem zaprzeczenia alternatywy. Określa się je wzorem: ~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) . Dowiadujemy się z niego, że zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań (∼(p ∨ q)) jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań ((∼p) ∧ (∼q)) (Lapis W. 2014 s. 19).
Tabela poniżej prezentuje zestaw wartości logicznych w II Prawie de Morgana
| p | q | p ∨ q | ~(p ∨ q) | ~p | ~q | (∼p) ∧ (∼q) | ~(p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Rachunek kwantyfikatorów
Prawa de Morgana także odnajdują swoje miejsce w rachunku kwantyfikatorów. Prawo rachunku kwantyfikatorów mówi o zdaniach zawierających kwantyfikatory oraz jest prawdziwe niezależnie od formy. Opisują one reguły zaprzeczania kwantyfikatorom. Określa się to wzorem: ~(∀x p(x)) ↔ ~(∃x ~p(x)) oraz ~(∃x p(x)) ↔ (∀x ~p(x)). Kwantyfikatory są symbolami służące do formułowania zdań takich jak: „dla każdego...” oraz „dla pewnego…” itp. w logice matematycznej (Trzęsicki K. 2008, s. 304).
Teoria Mnogości
Prawa de Morgana w teorii mnogości odnajdują swoje miejsce w opisie działania dopełnienia. Prawa de Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów zapisuje się analogicznie jak w teorii mnogości.
Inne ważne wzory z zakresu logiki
Z zakresu logiki poza prawami odkrytymi przez Augusta de Morgana, spotkać możemy się także z prawami takimi jak:
- prawo podwójnej negacji: ~(~p) ) ↔ p
- przemienność alternatywy: p ∨ q ↔ q ∨ p
- przemienność koniunkcji: p ∧ q ↔ q ∧ p
- łączność alternatywy: (p ∨ q) ∨ r ↔ ∨ (q ∨ r)
- łączność koniunkcji: (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r)
- rozdzielność koniunkcji względem alternatywy: p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- prawo wyłączonego środka: p v p~
- prawo zaprzeczenia implikacji: ~(p → q) ↔ p ∧ ~q
- prawo zastąpienia równoważności implikacją: (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)]
- prawo kontrapozycji: (p → q) ↔ (~q → ~p)
- prawo odrywania: [(p → q) ∧ p] → q
- prawo eliminacji implikacji: (p → q) ↔ (~p) ∨ q (Lapis W. 2014, s. 17).
Bibliografia
- Lapis W. (2014) Matematyka dla laika „Matematyka dla laika”, s. 1 – 132
- Marciszewski W. (2003) Prawa de Morgana i ich zastosowania, „Logika”, s. 1 – 4
- Trzęsicki K. (2008) Logika Nauka i sztuka, s. 4 – 439
Autor: Tomasz Mirocha
.
