Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana
Polecane artykuły
Zmienna losowa Estymator obciążony Wariancja Kwartyl Analiza regresji Interpolacja Regresja liniowa Metody statystyczne Rozkład częstości

Wartość oczekiwana jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. Wykorzystuje się ją m.in. w operacjach analitycznych i statystyce. Najczęściej przyjmuje się oznaczenie $EX$. W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy definiują wartość oczekiwaną jako całkę z funkcji prostej, przyjmującej wartości $x_{i}$ na zbiorach $A_{i}=\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x_{i}\}$ .

Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej $EX$ dla zmiennej losowej $X$ , której wartościami są liczby rzeczywiste, jest całkowalność zmiennej losowej $X$, czyli $\int \limits _{\Omega }|X|\,dP<\infty$ .

Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to $EX=\int \limits _{\Omega }X\,dP$ jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$, w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy zmienna losowa $X$ ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to $EX=\sum \limits _{i\in I}x_{i}P(X=x_{i})$ . Dla liczb $x_{i}$, którym odpowiadają wagi $p_{i},$ podany szereg jest średnią ważoną.

Dla zmiennej losowej $X=(X_{1},X_{2},...,X_{n})$, która przyjmuje wartości w $R^{n}$ definiujemy wartość oczekiwaną jako wektor $EX=(EX_{1},EX_{2},...,EX_{n})$, jeżeli dla każdej współrzędnej istnieje wartość oczekiwana.

Własności wartości oczekiwanej

Niech dane będą wartości oczekiwane $EX$ i $EY$ dla zmiennych losowych $X$ i $Y$, wtedy zachodzą następujące własności  :

1. gdy $a$ jest stałą to $E(a)=a$,
2. gdy $a$ jest stałą to $E(aX)=aEX$,
3. gdy $a,b$ są stałymi to $E(aX+b)=aEX+b$,
4. jeżeli istnieje wartość ocekiwana $EX,EY$ to istnieje także $EX$ i zachodzi równość $E(X+Y)=EX+EY$ ,
5. gdy $X\geqslant 0$ zachodzi $EX\geqslant 0$,
6. $|EX|\geqslant E|X|$,
7. gdy $X,Y$ są niezależne to $E(XY)=EX\cdot EY$.

W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy podają również następujące własności :

1. (lemat Fatou) jeśli $X_{n}\geqslant 0$ to, $E(\liminf _{n\to \infty }X_{n})\leqslant \liminf _{n\to \infty }EX_{n}$ ,
2. gdy $X_{n}$ jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, wtedy $E\lim _{n\to \infty }X_{n}=lim_{n\to \infty }EX_{n}$ ,
3. gdy $Z$ jest całkowalną zmienną losową i $X_{n}$ jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi $|X_{n}|\leqslant Z$ , wtedy $E\lim _{n\to \infty }X_{n}=lim_{n\to \infty }EX_{n}$.

W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów  :

• $EX^{n}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{n}\cdot f(x)dx$.
• $EX^{n}=x_{1}^{n}p_{1}+x_{2}^{n}p_{2}+\dots =\sum \limits _{k}x_{k}^{n}p_{k}$

Zastosowanie wartości oczekiwanej

Dla zmiennej losowej $X$ jej wartość oczekiwaną wykorzystuje się w statystyce i wielu dziedzinach matematyki m.in. do obliczenia wariancji zmiennej losowej $X$ i jej odchylenia standardowego (czyli pierwiastka z wariancji), a także kowariancja zmiennych losowych :

• wriancja zmiennej losowej $X:D^{2}=E(X-EX)^{2}=EX^{2}-(EX)^{2}$,
• kowariancja zmiennych losowych $X,Y:Cov(X,Y)=E((X-EX)(Y-EY))=E(XY)-(EX)(EY)$.

Wartość oczekiwana jest również wykorzystywana w meteorologii do opisów parametrów wyników pomiarów.

Bibliografia

• Feller W. (2007), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Jakubowski J., Sztencel R. (2001). Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo SCRIPT, Warszawa
• Kordecki W. (2012), Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia, Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu, Wrocław
• Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Muciek A. (2012), Wyznaczanie modeli matematycznych z danych eksperymentalnych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław
• Ostasiewicz W. (2012), Myślenie statystyczne, Wydawca: Wolters Kluwer, Warszawa
• Wesołowski J., Tarczyński J. (2016), Podstawy matematyczne technik imputacyjnych, Wydawca: Główny Urząd Statystyczny, Wiadomości Statystyczne. Polski statystyki

Autor: Mariola Klaś