Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
Z Encyklopedia Zarządzania
m (cleanup bibliografii i rotten links) |
m (Clean up, replaced: . → . (3), , → , (5), → (9), : → : (2)) |
||
| Linia 13: | Linia 13: | ||
</ul> | </ul> | ||
}} | }} | ||
'''[[Wartość]] oczekiwana''' jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. | '''[[Wartość]] oczekiwana''' jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. Wykorzystuje się ją m.in. w operacjach analitycznych i statystyce. Najczęściej przyjmuje się oznaczenie <math> EX </math>. W książce ''Wstęp do teorii prawdopodobieństwa'' <ref> J. Jakubowskiego i R. Sztencla (2001) s.79 </ref> autorzy definiują wartość oczekiwaną jako całkę z funkcji prostej, przyjmującej wartości <math> x_{i} </math> na zbiorach <math>A_{i} = \{\omega \in \Omega : X(\omega)=x_{i} \} </math>. | ||
Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej | Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej <math>EX</math> dla zmiennej losowej <math> X </math>, której wartościami są liczby rzeczywiste, jest całkowalność zmiennej losowej <math>X </math>, czyli <math> \int \limits_{\Omega} |X|\, dP < \infty </math>. | ||
Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to <math> EX = \int\limits_{\Omega} X \, dP </math> jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej <math> X </math>, w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy [[zmienna]] losowa <math> X </math> ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to <math> EX = \sum \limits _{i \in I} x_{i} P(X=x_{i})</math> . Dla liczb <math> x_i </math>, którym odpowiadają wagi <math> p_i, </math> podany szereg jest średnią ważoną. | Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to <math> EX = \int\limits_{\Omega} X \, dP </math> jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej <math> X </math>, w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy [[zmienna]] losowa <math> X </math> ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to <math> EX = \sum \limits _{i \in I} x_{i} P(X=x_{i})</math>. Dla liczb <math> x_i </math>, którym odpowiadają wagi <math> p_i, </math> podany szereg jest średnią ważoną. | ||
Dla zmiennej losowej <math>X=(X_1,X_2,...,X_n)</math>, która przyjmuje wartości w <math> R^{n} </math> | Dla zmiennej losowej <math>X=(X_1,X_2,...,X_n)</math>, która przyjmuje wartości w <math> R^{n} </math> definiujemy wartość oczekiwaną jako wektor <math>EX = (EX_1,EX_2,...,EX_n)</math>, jeżeli dla każdej współrzędnej istnieje wartość oczekiwana. | ||
<google>t</google> | <google>t</google> | ||
== Własności wartości oczekiwanej == | == Własności wartości oczekiwanej == | ||
Niech [[dane]] będą wartości oczekiwane <math> EX </math> i <math> EY </math> dla zmiennych losowych <math> X </math> i <math> Y </math>, wtedy zachodzą następujące własności <ref> W. Krysicki (1999) s.66 i J. Jakubowski (2001) s.80 </ref> : | Niech [[dane]] będą wartości oczekiwane <math> EX </math> i <math> EY </math> dla zmiennych losowych <math> X </math> i <math> Y </math>, wtedy zachodzą następujące własności <ref> W. Krysicki (1999) s.66 i J. Jakubowski (2001) s.80 </ref>: | ||
# gdy <math> a </math> jest stałą to <math> E(a) = a </math>, | # gdy <math> a </math> jest stałą to <math> E(a) = a </math>, | ||
# gdy <math> a </math> jest stałą to <math> E(aX) = aEX </math>, | # gdy <math> a </math> jest stałą to <math> E(aX) = aEX </math>, | ||
# gdy <math> a, b </math> są stałymi to <math> E(aX + b) = aEX + b </math>, | # gdy <math> a, b </math> są stałymi to <math> E(aX + b) = aEX + b </math>, | ||
# jeżeli istnieje wartość ocekiwana <math>EX , EY </math> to istnieje także <math> EX </math> i zachodzi równość <math> E(X+Y) = EX + EY </math> , | # jeżeli istnieje wartość ocekiwana <math>EX , EY </math> to istnieje także <math> EX </math> i zachodzi równość <math> E(X+Y) = EX + EY </math>, | ||
# gdy <math> X \geqslant 0 </math> zachodzi <math> EX \geqslant 0 </math>, | # gdy <math> X \geqslant 0 </math> zachodzi <math> EX \geqslant 0 </math>, | ||
# <math>|EX| \geqslant E|X| </math>, | # <math>|EX| \geqslant E|X| </math>, | ||
| Linia 33: | Linia 33: | ||
W książce ''Wstęp do teorii prawdopodobieństwa'' autorzy podają również następujące własności <ref> J. Jakubowski (2001) s.80 </ref>: | W książce ''Wstęp do teorii prawdopodobieństwa'' autorzy podają również następujące własności <ref> J. Jakubowski (2001) s.80 </ref>: | ||
# ('''lemat Fatou''') jeśli <math> X_{n} \geqslant 0 </math> to, <math> E(\liminf_{n \to \infty} X_{n}) \leqslant \liminf_{n \to \infty} EX_{n} </math> , | # ('''lemat Fatou''') jeśli <math> X_{n} \geqslant 0 </math> to, <math> E(\liminf_{n \to \infty} X_{n}) \leqslant \liminf_{n \to \infty} EX_{n} </math>, | ||
# gdy <math> X_{n} </math> jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, | # gdy <math> X_{n} </math> jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, wtedy <math> E \lim_{n \to \infty} X_{n} = lim_{n \to \infty} EX_{n} </math>, | ||
# gdy <math> Z </math> jest całkowalną zmienną losową i <math> X_{n} </math> jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi <math> |X_{n}| \leqslant Z </math> , wtedy <math> E \lim_{n \to \infty} X_{n} = lim_{n \to \infty} EX_{n} </math>. | # gdy <math> Z </math> jest całkowalną zmienną losową i <math> X_{n} </math> jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi <math> |X_{n}| \leqslant Z </math>, wtedy <math> E \lim_{n \to \infty} X_{n} = lim_{n \to \infty} EX_{n} </math>. | ||
W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów <ref> W. Kordecki (2012) s.11 </ref> : | W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów <ref> W. Kordecki (2012) s.11 </ref>: | ||
* <math> EX^{n} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{n} \cdot f(x) dx </math>. | * <math> EX^{n} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{n} \cdot f(x) dx </math>. | ||
* <math> EX^{n} = x_{1}^{n} p_{1} + x_{2}^{n} p_{2} + \dots = \sum\limits_{k} x_{k}^{n} p_{k} </math> | * <math> EX^{n} = x_{1}^{n} p_{1} + x_{2}^{n} p_{2} + \dots = \sum\limits_{k} x_{k}^{n} p_{k} </math> | ||
Wersja z 07:40, 2 lis 2023
| Wartość oczekiwana |
|---|
| Polecane artykuły |
Wartość oczekiwana jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. Wykorzystuje się ją m.in. w operacjach analitycznych i statystyce. Najczęściej przyjmuje się oznaczenie . W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa [1] autorzy definiują wartość oczekiwaną jako całkę z funkcji prostej, przyjmującej wartości na zbiorach .
Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej , której wartościami są liczby rzeczywiste, jest całkowalność zmiennej losowej , czyli .
Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej , w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to . Dla liczb , którym odpowiadają wagi podany szereg jest średnią ważoną.
Dla zmiennej losowej , która przyjmuje wartości w definiujemy wartość oczekiwaną jako wektor , jeżeli dla każdej współrzędnej istnieje wartość oczekiwana.
Własności wartości oczekiwanej
Niech dane będą wartości oczekiwane i dla zmiennych losowych i , wtedy zachodzą następujące własności [2]:
- gdy jest stałą to ,
- gdy jest stałą to ,
- gdy są stałymi to ,
- jeżeli istnieje wartość ocekiwana to istnieje także i zachodzi równość ,
- gdy zachodzi ,
- ,
- gdy są niezależne to .
W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy podają również następujące własności [3]:
- (lemat Fatou) jeśli to, ,
- gdy jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, wtedy ,
- gdy jest całkowalną zmienną losową i jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi , wtedy .
W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów [4]:
- .
Zastosowanie wartości oczekiwanej
Dla zmiennej losowej jej wartość oczekiwaną wykorzystuje się w statystyce i wielu dziedzinach matematyki m.in. do obliczenia wariancji zmiennej losowej i jej odchylenia standardowego (czyli pierwiastka z wariancji), a także kowariancja zmiennych losowych [5]:
- wriancja zmiennej losowej ,
- kowariancja zmiennych losowych .
Wartość oczekiwana jest również wykorzystywana w meteorologii do opisów parametrów wyników pomiarów.
Przypisy
Bibliografia
- Feller W. (2007), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- Jakubowski J., Sztencel R. (2001). Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo SCRIPT, Warszawa
- Kordecki W. (2012), Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia, Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu, Wrocław
- Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
- Muciek A. (2012), Wyznaczanie modeli matematycznych z danych eksperymentalnych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław
- Ostasiewicz W. (2012), Myślenie statystyczne, Wydawca: Wolters Kluwer, Warszawa
- Wesołowski J., Tarczyński J. (2016), Podstawy matematyczne technik imputacyjnych, Wydawca: Główny Urząd Statystyczny, Wiadomości Statystyczne. Polski statystyki
Autor: Mariola Klaś
