Kombinatoryka: Różnice pomiędzy wersjami

Z Encyklopedia Zarządzania
m (Dodanie MetaData Description)
m (cleanup bibliografii i rotten links)
Linia 21: Linia 21:
* za pomocą grafu ( drzewka)
* za pomocą grafu ( drzewka)
* stosując reguły dodawania i mnożenia
* stosując reguły dodawania i mnożenia
 
==Zasady stosowane w kombinatoryce ==
==Zasady stosowane w kombinatoryce ==
'''Podstawowa [[zasada]] kombinatoryki'''  
'''Podstawowa [[zasada]] kombinatoryki'''
Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.  
Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.


'''Reguła dodawania'''
'''Reguła dodawania'''
Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie ''m+n'' sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów - wykluczają się<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.  
Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie ''m+n'' sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów - wykluczają się<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.
<google>link</google>
<google>link</google>
'''Reguła mnożenia'''  
'''Reguła mnożenia'''
Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa ''m⋅n''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.  
Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa ''m⋅n''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.
W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa ''kmn''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.
W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa ''kmn''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.


Linia 43: Linia 43:
Według CKE '''wariacje z powtórzeniami''' to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z ''k'' niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa ''n<sup>k</sup>''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>." W przypadku wariacji z powtórzeniami wybierane elementy mogą się powtarzać, a kolejność wybieranych elementów ma znaczenie<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.
Według CKE '''wariacje z powtórzeniami''' to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z ''k'' niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa ''n<sup>k</sup>''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>." W przypadku wariacji z powtórzeniami wybierane elementy mogą się powtarzać, a kolejność wybieranych elementów ma znaczenie<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.


Natomiast '''wariacją bez powtórzeń''' jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z ''n'' różnych elementów, składający się z ''k'' różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>: ''n!/(n-k)!''. W przypadku wariacji bez powtórzeń istotna jest kolejność wybieranych elementów oraz to, że elementy nie mogą się powtarzać<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.  
Natomiast '''wariacją bez powtórzeń''' jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z ''n'' różnych elementów, składający się z ''k'' różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>: ''n!/(n-k)!''. W przypadku wariacji bez powtórzeń istotna jest kolejność wybieranych elementów oraz to, że elementy nie mogą się powtarzać<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.


'''Permutacją''' nazywamy liczbę sposobów, na które ''n(n≥1)'' różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru ''n!''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015), Warszawa  </ref>.
'''Permutacją''' nazywamy liczbę sposobów, na które ''n(n≥1)'' różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru ''n!''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015), Warszawa  </ref>.


'''Kombinacją''' można nazwać liczbę sposobów, na które spośród ''n'' różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤''k''≤''n'', zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>. W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.  
'''Kombinacją''' można nazwać liczbę sposobów, na które spośród ''n'' różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤''k''≤''n'', zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>. W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>.


==Silnia liczby naturalnej==
==Silnia liczby naturalnej==
Linia 54: Linia 54:
==Historia kombinatoryki==
==Historia kombinatoryki==
Dwa podstawowe zagadnienia '''kombinatoryki''', jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki<ref>Zakrzewski M. (2018),''Markowe Wykłady z Matematyki''], s.3</ref>.
Dwa podstawowe zagadnienia '''kombinatoryki''', jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki<ref>Zakrzewski M. (2018),''Markowe Wykłady z Matematyki''], s.3</ref>.
:


==Przypisy==
==Przypisy==
:
<references />
<references />


==Bibliografia==
==Bibliografia==
:
<noautolinks>
* [https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf ''Wybrane wzory matematyczne''] (2015), Warszawa
* Janiec E. (2006), ''Nowa Encyklopedia Podręczna PWN'', „Wydawnictwo Naukowe PWN”, s.441
* Janiec E. (2006), ''Nowa Encyklopedia Podręczna PWN'', „Wydawnictwo Naukowe PWN”, s.441
* Nowoświat K.(2014), [http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf ''Matematyka Europejczyka''],„Helion“  
* Nowoświat K.(2014), [http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf ''Matematyka Europejczyka''],„Helion“
* Rutkowski J. (2021), [https://mleczko.students.wmi.amu.edu.pl/wp-content/uploads/2013/10/04-RachPrawdopod_14_15-student.pdf ''Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa'']
* Rutkowski J. (2021), [https://mleczko.students.wmi.amu.edu.pl/wp-content/uploads/2013/10/04-RachPrawdopod_14_15-student.pdf ''Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa'']
* [https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf ''Wybrane wzory matematyczne''] (2015), Warszawa 
* Zakrzewski M. (2018),''Markowe Wykłady z Matematyki'', „GiS”, Wrocław, s.3
* Zakrzewski M. (2018),''Markowe Wykłady z Matematyki'', „GiS”, Wrocław, s.3
</noautolinks>
:
{{a|Aleksandra Potejko}}
{{a|Aleksandra Potejko}}
[[Kategoria:Statystyka i Ekonometria]]
[[Kategoria:Statystyka i Ekonometria]]


{{#metamaster:description|Kombinatoryka to dział matematyki badający tworzenie zbiorów skończonych, np. kombinacje, permutacje i wariacje. Liczy różne sposoby zdarzeń losowych.}}
{{#metamaster:description|Kombinatoryka to dział matematyki badający tworzenie zbiorów skończonych, np. kombinacje, permutacje i wariacje. Liczy różne sposoby zdarzeń losowych.}}

Wersja z 18:23, 28 paź 2023

Kombinatoryka
Polecane artykuły

Dział matematyczny, który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych, które są tworzone w określony sposób, np. zbiór kombinacji, permutacji, wariacji. Zajmuje się zliczaniem sposobów zajścia zdarzenia losowego[1].

Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego

Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi sposobami, między innymi[2]:

  • poprzez wypisanie wszystkich możliwości
  • przy pomocy tabeli
  • za pomocą grafu ( drzewka)
  • stosując reguły dodawania i mnożenia

Zasady stosowane w kombinatoryce

Podstawowa zasada kombinatoryki Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać[3].

Reguła dodawania Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie m+n sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów - wykluczają się[4]. Reguła mnożenia Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa m⋅n[5]. W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa kmn[6].

Elementy kombinatoryki

Do elementów kombinatoryki zaliczamy[7]:

  • permutacje
  • kombinacje
  • wariacje bez powtórzeń
  • wariacje z powtórzeniami

Wariacje, Permutacje, Kombinacje

Według CKE wariacje z powtórzeniami to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk[8]." W przypadku wariacji z powtórzeniami wybierane elementy mogą się powtarzać, a kolejność wybieranych elementów ma znaczenie[9].

Natomiast wariacją bez powtórzeń jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z n różnych elementów, składający się z k różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa[10]: n!/(n-k)!. W przypadku wariacji bez powtórzeń istotna jest kolejność wybieranych elementów oraz to, że elementy nie mogą się powtarzać[11].

Permutacją nazywamy liczbę sposobów, na które n(n≥1) różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru n![12].

Kombinacją można nazwać liczbę sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤k≤n, zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona[13]. W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia[14].

Silnia liczby naturalnej

Silnią (n!) liczby naturalnej, która jest większa od jeden nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich, które nie są większe od n[15].

Historia kombinatoryki

Dwa podstawowe zagadnienia kombinatoryki, jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki[16].

Przypisy

  1. ↑ Janiec E. (2006), Nowa Encyklopedia Podręczna PWN, s.441
  2. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  3. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  4. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  5. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  6. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  7. ↑ Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
  8. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
  9. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  10. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
  11. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  12. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015), Warszawa
  13. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
  14. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  15. ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
  16. ↑ Zakrzewski M. (2018),Markowe Wykłady z Matematyki], s.3

Bibliografia

Autor: Aleksandra Potejko


Źródło: „https://mfiles.pl/pl/index.php?title=Kombinatoryka&oldid=144684”