Współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji informuje o tym, jak część zmian zmiennej objaśnianej jest wyjaśniona przez zmiany zmiennej objaśniającej (D. Chudy - Hyski 2006, s. 138). Inaczej mówiąc, pokazuje jaki procent zmiennej zależnej (objaśnianej) jest wyjaśniany za pomocą zmiennej niezależnej (czynnik zmienna objaśniająca). Głównie można się z nim spotkać w statystyce i ekonometrii. Oznaczany jest jako $R^{2}\,$. Można go przedstawić za pomocą poniższego wzoru:

$R^{2}={\frac {\sum _{t=1}^{n}({\hat {y_{t}}}-{\bar {y}})^{2}}{\sum _{t=1}^{n}(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}}$

gdzie:

$R^{2}\,$ - współczynnik determinacji

$y_{t}\,$ - rzeczywista wartość zmiennej zależnej

${\hat {y}}_{t}\,$ - przewidywana wartość zmiennej zależnej

${\bar {y}}\,$ - średnia wartość rzeczywistej zmiennej zależnej

TL;DR

Współczynnik determinacji (R^2) informuje o tym, jak duża część zmian zmiennej objaśnianej jest wyjaśniana przez zmiany zmiennej objaśniającej. Im wyższa wartość R^2, tym dokładniejsze są prognozy. Wartości R^2 powyżej 0,9 są uważane za bardzo dobre, powyżej 0,8 za dobre, a powyżej 0,6 za zadowalające. Jednak R^2 nie jest jedynym kryterium oceny modelu, należy uwzględnić inne czynniki. Współczynnik determinacji może prowadzić do efektu katalizy, gdzie wartość R^2 jest wysoka, ale powiązania między zmiennymi nie uzasadniają tego wyniku. R^2 jest wykorzystywany przy analizach statystycznych, m.in. do porównywania modeli i określania, które zmienne najlepiej wyjaśniają zmienną zależną. Może być również stosowany w innych dziedzinach nauki, takich jak medycyna.

Wartość współczynnika determinacji

"Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0, 1] oraz udowadnia, że im większa jest wyjaśniona modelem zmienność zmiennej objaśnianej tym bliższa jedności jest wartość współczynnika $R^{2}\,$" (B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny 2007, s. 43). Wynika z tego fakt, iż im wyższe będzie $R^{2}\,$ tym dokładniejsze będą nasze prognozy. Wartości współczynnika opisują w swojej książce Amir D. Aczel i Jayavel Sounderpandian, pisząc: "Wartość $R^{2}\,$ powyżej 0,9 można uważać za bardzo dobrą, powyżej 0,8 - za dobrą, a powyżej 0,6 - za zadowalającą w niektórych zastosowaniach, choć w tym ostatnim przypadku musimy liczyć się ze stosunkowo dużymi błędami prognozy; Gdy $R^{2}\,$ jest poniżej 0,5, to regresja wyjaśnia tylko mniej niż 50% zmienności Y; prognozy mogą okazać się nietrafne; Jeżeli chcemy tylko zrozumieć związki między zmiennymi, to niższe wartości $R^{2}\,$ są do przyjęcia, ale musimy zdawać sobie sprawę, że model regresji niewiele wtedy wyjaśnia" (A. D. Aczel, J. Sounderpandian 2018, s. 637-638). Z kolei "im większa będzie liczba zmiennych objaśniających tym nie mniejsza będzie wartość współczynnika determinacji" (A. Nowak-Brzezińska 2018, s. 97). Jednak nie można jedynie za pomocą tego współczynnika określić jakości modelu, ponieważ jest on jedynie jedną z kilku miar jakości modelu, stąd też należy przy badaniu wziąć też pod uwagę inne czynniki. Opisane zostało to w książce pod redakcją m.in. M. Gruszczyńskiego "Należy pamiętać, że współczynnik $R^{2}\,$ stanowi wewnątrzpróbowe kryterium oceny dopasowania modelu; Jego konstrukcja uwzględnia jedynie te obserwacje, które należą do próby, a zatem nie daje informacji o wartości prognostycznej modelu" (M. Gruszczyński, T. Kuszewski, M. Podgórska 2009, s. 52).

Efekt katalizy

Omawiany współczynnik ze względu na zmienność jego wartości przez ilość i związek między badanymi zmiennymi doprowadza czasem do pewnych zjawisk. Jednym z nich jest najczęściej omawiany w polskich literaturach efekt katalizy. Co to takiego? Jest to efekt dający możliwość otrzymania wysokiej wartości współczynnika determinacji mimo że charakter i siła powiązań zmiennych objaśniających i zmiennej objaśnianej nie uzasadniają takiego wyniku. Efekt katalizy może wystąpić tam, gdzie występuje zmienna, czyli katalizator .

Zastosowanie $R^{2}\,$

Współczynnik determinacji wykorzystywany jest przy analizach:

• daje nam informację, na ile nasze badanie (nasz założony czynnik) wyjaśnia to co chcemy mierzyć
• służy określeniu, na ile poszczególne modele statystyczne, czynniki "dobrze" wyjaśniają to co chcemy wyjaśnić, która ze zmiennych (jeżeli badamy w badaniu kilka) lepiej wyjaśnia zmienną zależną
• jest miarą najczęściej stosowaną w modelu statystycznym czy ekonometrycznym niż w zwykłej analizie korelacji
• pozwala oszacować, który z analizowanych modeli jest lepszy

Skoro używa się tej miary przy analizie statystycznej, to można ją wykorzystać wykonując statystyki w różnych dziedzinach nauki. Chociażby w medycynie. Ciekawym przypadkiem jest dokonanie takiej analizy przy badaniu poziomu lęku a natężeniem depresji w okresie przedoperacyjnym i po zabiegu rewaskularyzacji mięśnia sercowego. Na podstawie badania stwierdzono, m.in. dzięki współczynnikowi $R^{2}\,$, jakie natężenie i czy istnieje związek między lękiem a depresją przed i po zabiegu (A. Pawlak i wsp. 2012, s. 63-74).

Współczynnik determinacji — artykuły polecane

Rozkład normalny — Średnia geometryczna — Błąd bezwzględny — Skala interwałowa — Błąd względny — ANOVA — Analiza regresji — Estymator nieobciążony — Histogram — Materializm historyczny

Bibliografia

• Aczel A. (2018), Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Borkowski B., Dudek H., Szczęsny W. (2007), Ekonometria. Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Chudy-Hyski D. (2006), Ocena wybranych uwarunkowań rozwoju funkcji turystycznej obszaru, Nr 2/1, Polska Akademia Nauk, Oddział w Krakowie
• Gruszczyński M., Kuszewski T., Podgórska M. (2009), Ekonometria i badania operacyjne, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Nowak-Brzezińska A. (2011), Klasyfikacja danych, Zakład Systemów Informatycznych, Uniwersytet Śląski

Autor: Patrycja Rygiel