Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami

Z Encyklopedia Zarządzania
m (Czyszczenie tekstu)
m (cleanup bibliografii i rotten links)
Linia 52: Linia 52:
==Bibliografia==
==Bibliografia==
<noautolinks>
<noautolinks>
* Feller W. (2007), ''Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Feller W. (2008), ''Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Jakubowski J., Sztencel R. (2001). ''Wstęp do teorii prawdopodobieństwa'', Wydawnictwo SCRIPT, Warszawa
* Jakubowski J. (2010), ''Wstęp do teorii prawdopodobieństwa'', Wydawnictwo Script, Warszawa
* Kordecki W. (2012), ''Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia'', Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu, Wrocław
* Kordecki W. (2012), ''Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia'', Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu, Wrocław
* Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), ''[https://www.uslugi-komputerowe.eu/download/statystyka_opisowa/Rachunek_prawdopodobienstwa_i_statystyka_matematyczna_w_zadaniach_czesc_1.pdf Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach]'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), '' Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Muciek A. (2012), ''[https://www.dbc.wroc.pl/Content/19612/muciek_wyznaczanie_modeli.pdf Wyznaczanie modeli matematycznych z danych eksperymentalnych]'', Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław
* Muciek A. (2012), ''[https://www.dbc.wroc.pl/Content/19612/muciek_wyznaczanie_modeli.pdf Wyznaczanie modeli matematycznych z danych eksperymentalnych]'', Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław
* Ostasiewicz W. (2012), ''Myślenie statystyczne'', Wydawca: Wolters Kluwer, Warszawa
* Ostasiewicz W. (2012), ''Myślenie statystyczne'', Wydawca: Wolters Kluwer, Warszawa

Wersja z 15:51, 7 lis 2023

Wartość oczekiwana
Polecane artykuły

Wartość oczekiwana jest jedną z wartości służących do sumarycznego opisywania rozkładów prawdopodobieństwa. Nazywana jest też wartością średnią lub przeciętną, a także nadzieją matematyczną. Wykorzystuje się ją m.in. w operacjach analitycznych i statystyce. Najczęściej przyjmuje się oznaczenie . W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa [1] autorzy definiują wartość oczekiwaną jako całkę z funkcji prostej, przyjmującej wartości na zbiorach .

Warunkiem istnienia wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej , której wartościami są liczby rzeczywiste, jest całkowalność zmiennej losowej , czyli .

Jeżeli zachodzi powyższa nierówność to jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej , w przeciwnym razie mówimy, że nie ma skończonej wartości oczekiwanej. Gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i skończenie wiele wartości, to . Dla liczb , którym odpowiadają wagi podany szereg jest średnią ważoną.

Dla zmiennej losowej , która przyjmuje wartości w definiujemy wartość oczekiwaną jako wektor , jeżeli dla każdej współrzędnej istnieje wartość oczekiwana.

Własności wartości oczekiwanej

Niech dane będą wartości oczekiwane i dla zmiennych losowych i , wtedy zachodzą następujące własności [2]:

  1. gdy jest stałą to ,
  2. gdy jest stałą to ,
  3. gdy są stałymi to ,
  4. jeżeli istnieje wartość ocekiwana to istnieje także i zachodzi równość ,
  5. gdy zachodzi ,
  6. ,
  7. gdy są niezależne to .

W książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorzy podają również następujące własności [3]:

  1. (lemat Fatou) jeśli to, ,
  2. gdy jest niemalejącym ciągiem nieujemnych zmiennych losowych, wtedy ,
  3. gdy jest całkowalną zmienną losową i jest ciągiem zmiennych losowych, dla których zachodzi , wtedy .

W celu obliczenia wartości oczekiwanej potęg zmiennych losowych korzystamy z następujących wzorów [4]:

  • .

Zastosowanie wartości oczekiwanej

Dla zmiennej losowej jej wartość oczekiwaną wykorzystuje się w statystyce i wielu dziedzinach matematyki m.in. do obliczenia wariancji zmiennej losowej i jej odchylenia standardowego (czyli pierwiastka z wariancji), a także kowariancja zmiennych losowych [5]:

  • wriancja zmiennej losowej ,
  • kowariancja zmiennych losowych .

Wartość oczekiwana jest również wykorzystywana w meteorologii do opisów parametrów wyników pomiarów.

Przypisy

  1. J. Jakubowskiego i R. Sztencla (2001) s.79
  2. W. Krysicki (1999) s.66 i J. Jakubowski (2001) s.80
  3. J. Jakubowski (2001) s.80
  4. W. Kordecki (2012) s.11
  5. W. Kordecki (2012) s.11,12

Bibliografia

  • Feller W. (2008), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Jakubowski J. (2010), Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Script, Warszawa
  • Kordecki W. (2012), Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia, Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu, Wrocław
  • Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasielewski M. (1999), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Muciek A. (2012), Wyznaczanie modeli matematycznych z danych eksperymentalnych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław
  • Ostasiewicz W. (2012), Myślenie statystyczne, Wydawca: Wolters Kluwer, Warszawa
  • Wesołowski J., Tarczyński J. (2016), Podstawy matematyczne technik imputacyjnych, Wydawca: Główny Urząd Statystyczny, Wiadomości Statystyczne. Polski statystyki


Autor: Mariola Klaś