Interpolacja

Interpolacja
Polecane artykuły
Wartość oczekiwana Analiza regresji Estymator nieobciążony Regresja liniowa Estymator ANOVA Test zgodności chi-kwadrat Przedział ufności Estymacja

Interpolacja jest to metoda numeryczna, która polega na wyznaczaniu przybliżonych wartości tzw. funkcji interpolacyjnej w danym przedziale, która przyjmuje z góry zadane wartości, w ustalonych punktach nazywanych węzłami. Stwierdzono, że funkcja ta jest zadaniem odwrotnym do tablicowania funkcji. Głównym zastosowanie tej funkcji uproszczenie skomplikowanych funkcji, np. całkowanie numeryczne lub w naukach doświadczalnych, gdy mamy skończoną liczbę danych a chcemy określić zależności między nimi.

Węzeł funkcji - argument funkcji, dla którego znana nam jest wartość funkcji. W praktyce skończony zbiór węzłów jest zbiorem argumentów, dla których wyznaczono wartości nieznanej funkcji (będącej np. funkcją zależności mocy silnika, od wartości wychylenia wirnika). (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 24-25)

Interpolacja wielomianowa

Metoda polegająca na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Najprostszym przypadkiem interpolacji wielomianowej jest interpolacja liniowa, która wykazuje, że dla węzłów x0 i x1 jest możliwość utworzenia funkcji liniowej, a jej wykres przechodzi przez punkty (x0, f (x0)) i (x1, f (x1)). Metoda wielomianowa oparta jest na twierdzeniu, że dla punktów x0, x1, …, xn przyjmujących wartości y0, y1, …, yn, istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n, który te punkty interpoluje (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 25)

$a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2}+...+a_{1}\cdot x+a_{0}$

Interpolacja Lagrange'a

Rozszerzeniem interpolacji wielomianowej jest interpolacja Lagrange’a, nazwana od nazwiska Josepha Lagrange’a, który był pionierem w tej dziedzinie. Różni się tym, że zamiast rozwiązywania układów równań w celu znalezienia współczynników wielomianu korzystamy ze wzoru interpolacyjnego. Zatem wynik otrzymany przy liczeniu metoda Lagrange'a będzie identyczny jak przy liczeniu metodą wielomianową.

Załóżmy więc, że znamy wartość funkcji w n miejscach:

x1	x2	…	xn
f (x1)	f (x2)	…	f (xn)

Wtedy wartość funkcji w punkcie n wyznaczamy ze wzoru:

$\sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot l_{i}(x)$

gdzie: x - to argument, dla którego chcemy znaleźć wartość funkcji, yi - wartość funkcji odpowiadająca argumentowi xi

Wartość współczynnika li, wyznaczamy się ze wzoru:

$\prod _{0<j\leq n,j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{i}-x_{1}}}...{\frac {x-x_{i-1}\cdot x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i-1}\cdot x_{i}-x_{i+1}}}...{\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}$

Aby wyliczyć wartości funkcji pomiędzy znanymi węzłami należy podstawić do wzoru kolejne znane nam wartości funkcji. Powstanie nam układ równań, który po rozwiązaniu da nam potrzebne współczynniki tego wielomianu (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 26-29)

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Aby zmniejszyć błąd interpolacji należy zwiększyć liczbę węzłów, jednak może to doprowadzić do wzrostu złożoności obliczeniowej, a co za tym idzie do wzrostu prawdopodobieństwa wystąpienia błędu (Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., 2017, s. 64)

W przedziale [a, b], który zawiera wszystkie n +1 węzłow interpolacji, tworzymy m przedziałów:

t_0... t_1

t_1... t_2

...

t_{m-1}... t_m

takich, że a = t_0 < t_1 <... < t_m = b

i w każdym z nich interpolujemy funkcję wielomianem interpolacyjnym (najczęściej niskiego stopnia. Połączenie tych wielomianów tworzy funkcję sklejaną.

Bibliografia

• Chwiej T., (2017). Interpolacja funkcjami sklejanymi poprzez wyznaczenie wartości drugich pochodnych w węzłach
• Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J. (2017). Metody numeryczne, Wydawnictwo WNT, Warszawa 2017
• Jakubczyk K., (2018). Interpolacja wielomianowa
• Pawłowski K., (2013). Interpolacje Newtona i Lagrange’a - Przykłady

Autor: Aleksandra Torba