Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo
Polecane artykuły
Zmienna losowa Prawdopodobieństwo warunkowe Pomiar Schemat Bernoulliego Rozkład Poissona Kwartyl Mediana wzór Estymacja Teoria gier

Prawdopodobieństwo jest funkcją, która zdarzeniu ze zbioru zdarzeń elementarnych $\Omega \;$ (zbioru wszystkich możliwych zdarzeń) przypisuje liczbę z przedziału $[0,1]\;$. Jeżeli jakieś zdarzenie $A\;$ przyjmuje wartość równą zero to mówimy, że jest to zdarzenie niemożliwe. Jeżeli jakieś zdarzenie $B\;$ przyjmuje wartość równą jeden to mówimy, że jest to zdarzenie pewne.

TL;DR

Prawdopodobieństwo jest funkcją przypisującą liczbę z przedziału [0,1] zdarzeniom ze zbioru zdarzeń elementarnych. Istnieją różne rodzaje prawdopodobieństwa, takie jak klasyczne, warunkowe i całkowite. Drzewo prawdopodobieństwa jest grafem, który obrazuje przebieg zdarzenia losowego. Reguła iloczynów i reguła sum są używane do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń na drzewie. Prawdziwe są również różne własności i działania na zdarzeniach, takie jak suma, iloczyn, różnica i zdarzenia przeciwne.

Rodzaje

• Prawdopodobieństwo klasyczne - Jest to prawdopodobieństwo w którym zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony oraz składa się on z jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych.Dla zdarzenia $A\;$ ze zbioru zdarzeń elementarnych $\Omega \;$ zachodzi wzór: $P(A)={{|A|} \over {|\Omega |}}$, gdzie $|A|\;$ oznacza moc zbioru (ilość jego elementów).

• Prawdopodobieństwo warunkowe - Jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A\;$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B\;$ oznaczamy je przez $P(A|B)\;$ i dane jest ono wzorem: $P(A|B)={{P(A\cap B)} \over {P(B)}}$, gdzie $P(B)>0\;$
• Prawdopodobieństwo całkowite - Jeżeli dla każdego $A_{i}\;$ ze zbioru zdarzeń elementarnych $\Omega \;$ spełnione są następujące warunki:

a) $P(A_{i})>0\;$ dla $i=1,...,n\;$

b) zdarzenia $A_{i}\;$ są parami rozłączne

c) $A_{1}\cup \dots \cup A_{n}=\Omega \;$

wtedy dla dowolnego zdarzenia $B\;$ zachodzi wzór: $P(B)=\sum _{n=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})$

Drzewo prawdopodobieństwa (stochastyczne)

Drzewem stochastycznym nazywamy graf, który obrazuje przebieg wielostopniowego zdarzenia losowego. Wierzchołkom takiego drzewa prawdopodobieństwa przyporządkowane są wyniki indywidualnych etapów zdarzenia, krawędziom zaś prawdopodobieństwo ich uzyskania. Suma prawdopodobieństw odpowiadających krawędziom, które wychodzą z tego samego wierzchołka jest równa 1. (Feller W. 2008)

Rys. 1 przykładowe drzewko doświadczenia dwuetapowego

• $B\;$,$B'\;$ - dwie możliwości wyniku w pierwszej fazie doświadczenia
• $A\;$, $A'\;$ - dwie możliwości wyniku w drugiej fazie doświadczenia
• $p_{1}\;$ - prawdopodobieństwo uzyskania wyniku $B\;$ w pierwszej fazie
• $p_{2}\;$ - prawdopodobieństwo uzyskania wyniku $B'\;$ w pierwszej fazie
• $q_{1}\;$,$q_{3}\;$ - prawdopodobieństwo warunkowe uzyskania wyniku $A\;$ w drugiej fazie
• $q_{2}\;$,$q_{4}\;$ - prawdopodobieństwo warunkowe uzyskania wyniku $A'\;$ w drugiej fazie

$p_{1}\;$ + $p_{2}\;$ = 0 $q_{1}\;$ + $q_{2}\;$ = 0 $q_{3}\;$ + $q_{4}\;$ = 0

Gałąź drzewa prawdopodobieństwa - jest to ciąg krawędzi, który prowadzi od początku drzewa do jednego z końcowych jego wierzchołków.

Reguła iloczynów-prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez jedną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których składa się rozważana gałąź.

Reguła sum - prawdopodobieństwo danego zdarzenia opisanego przez kilka gałęzi jest równe sumie prawdopodobieństw uzyskanych regułą iloczynów dla tych gałęzi (Jakubowski J. 2010)

Podstawowe własności

Dla dowolnych zdarzeń $A\;$ oraz $B\;$ ze zbioru zdarzeń elementarnych $\Omega \;$ prawdziwe są związki:

a) $P(A)\geq 0\;$

b) $P(A)\leq 1\;$

c) $A\subseteq B\Rightarrow P(A)\leq P(B)$

d) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

e) $P(\Omega )=1\;$

Działania na zdarzeniach

Działania na zdarzeniach wykonujemy analogicznie do działań na zbiorach.

• Sumą zdarzeń $A\;$ i $B\;$ nazywamy zdarzenie $A\;$ ∪ $B\;$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne, sprzyjające zdarzeniu $A\;$ lub zdarzeniu $B\;$.
• Iloczynem zdarzeń $A\;$ i $B\;$ nazywamy zdarzenie $A\;$ ∩ $B\;$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne, sprzyjające zdarzeniu $A\;$ i zdarzeniu $B\;$. Uwaga! Dwa zdarzenia $A\;$ i $B\;$ nazywamy wykluczającymi się (rozłącznymi), jeżeli zdarzenie $A\;$ ∩ $B\;$ jest zdarzeniem niemożliwym, czyli gdy $A\;$ ∩ $B\;$ = ∅.
• Różnicą zdarzeń $A\;$ i $B\;$ nazywamy zdarzenie $A\;$ \ $B\;$, do którego należą zdarzenia elementarne, sprzyjające zdarzeniu $A\;$ i nie sprzyjające zdarzeniu $B\;$.
• Zdarzenie $A'\;$ = $\Omega \;$ \ $A\;$ nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A\;$.
• Zdarzenia $A\;$ i $B\;$ są zdarzeniami przeciwnymi, jeżeli $A\;$ ∪ $B\;$ = $\Omega \;$ i $A\;$ ∩ $B\;$ = ∅

Bibliografia

• Feller W. (2008), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
• Fisz W. (1969), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa
• Jakubowski J. (2010), Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Script, Warszawa
• Krasicki W. (1986), Rachnek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach , Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa
• Ombach J. (2000), Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowo - MAPLE, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków
• Sokołowski, A. (2004). O niewłaściwym stosowaniu metod statystycznych. Materiały szkoleniowe. StatSoft Polska [online]