Test t Studenta: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 00:17, 5 sty 2024

Test t - Studenta jest wykorzystywany w celu porównania grup, dla których mamy wyniki, czyli chcemy stwierdzić czy wyniki w jednej grupie są większe bądź mniejsze niż w drugiej grupie. Testu t - Studenta nie należy wykonywać dla więcej niż dwóch grup. Odpowiada on na pytanie czy średnie wartości badanych zmiennych w dwóch grupach różnią się od siebie statystycznie istotnie (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).

TL;DR

Test t-Studenta jest wykorzystywany do porównywania wyników między dwiema grupami. Ma trzy rodzaje: dla prób niezależnych, dla prób zależnych i dla jednej próby. Test opiera się na założeniu rozkładu normalnego i podobności wariancji w grupach. Rozkład t-Studenta jest stosowany w statystyce i metrologii dla prób o małej liczebności. Test t-Studenta może być używany w różnych badaniach, takich jak porównywanie wpływów z różnych źródeł czy różnic między grupami społecznymi.

Założenia testów t-Studenta

Założenie testów t-Studenta jest następujące (M. Sobczyk 2007, s. 134-136):

rozkład wyników zmiennej zależnej w badanych grupach jest zbliżony do rozkładu normalnego,
porównywane grupy są podobne pod kątem ilości badanych osób,
homogeniczność wariancji, tzn. wariancje w grupach badanych są do siebie podobne
zmienna zależna powinna być mierzona na skali ilościowej

Test t - Studenta jest testem parametrycznym, czyli opiera się na obliczaniu wartości średniej i odchylenia standardowego. Posiadając zmienne mierzone w skali porządkowej czy nominalnej obliczenie wartości za pomocą t-Studenta nie jest możliwe. W tym przypadku powinien zostać zastosowany jego odpowiedni dla testów nieparametrycznych, a mianowicie test U Manna-Whitneya (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).

Rodzaje testów

Istnieją trzy rodzaje testu t-Studenta (W. Malska 2015, s. 326):

dla prób niezależnych - ocenia różnice między niezależnymi grupami np. między grupą kontrolną a eksperymentalną, kobietami a mężczyznami czy grupą starszych i młodszych. Aby wyniki wyszły prawidłowe należy mieć na uwadze takie czynniki jak: pomiar ilościowy zmiennej zależnej, zmienna niezależna powinna być dychotomiczna, rozkład w grupach powinien być normalny, wariancje oraz liczebność grup jest zbliżona. Porównanie grupy badanych następuje z wykorzystaniem testu zgodności chi-kwadrat (test Pearsona). Wzór dla prób niezależnych wygląda następująco (W. Malska 2015, s. 326):

$T={\frac {{\bar {X_{1}}}-{\bar {X_{2}}}}{S{x_{1}-x_{2}}}}$

dla prób zależnych - Jest to klasyczny przykład testu wykonywanego przed i po zaistniałej zmianie. W odróżnieniu od testu dla prób niezależnych, bierze pod uwagę i ocenia te same grupy osób. Obserwacja musi odbyć się dwa razy, a badane próby są powiązane ze sobą. Próba ta zestawia ze sobą wynik i pierwszego i drugiego pomiaru dokonywanego na jednej zmiennej. Zmienna jest badana w odniesieniu do innych warunków, jakie zachodzą, jednakże z uwzględnieniem tej samej grupy badanych. Próba zależna wymaga zaistnienia określonych czynników: zmiennej zależnej w pomiarze ilościowym; rozkładu zmiennej, który jest normalny; zastosowania identycznej skali pomiaru przy obydwu pomiarach, normalność rozkładu różnic zmiennych (W. Malska 2015, s. 326): $T={\frac {\bar {D}}{S_{D}/{\sqrt {n}}}}$
dla jednej próby - test ten pozwala wyciągnąć wnioski z zestawienia: średniego wyniki dokonanego na jednej grupie osób poddanych w badaniu, z odchyleniem standardowym wynikającym z tego samego badania na tej samej, jednej grupie badanych. Obydwa te pomiary koreluje się z założoną na potrzeby tego badania wartością. Wartość ta może być przyjęta hipotetycznie lub można wynika z innych badań. Test jednej próby używany jest, kiedy dokonywany jest pomiar zmiennej o ile znajduje się ona na skali ilościowej i ma rozkład normalny (W. Malska 2015, s. 326): $T={\frac {{\bar {X_{1}}}-\mu }{Sx_{1}}}$

Rozkład t-Studenta

Rozkład t-Studenta zwany również rozkładem t to model teoretyczny wykorzystywany do przybliżenia momentu pierwszego rzędu populacji o rozkładzie normalnym, przy niewielkiej wielkości próby oraz nieznanym odchyleniem standardowym. Jest to rozkład prawdopodobieństwa, który podaje wartość małej próby z populacji, posiadającej rozkład normalny i dla której brak jest informacji o odchyleniu standardowym. W przeciwieństwie do rozkładu normalnego rozkład t zależy jedynie od stopni swobody (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).

Rozkład t-Studenta jest stosowany w statystyce i metrologii. Opierają się na dwóch podstawowych twierdzeniach (M. Sobczyk 2007, s. 134-136):

zmienne losowe $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ mają taki sam rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej $m$ i wariancji $\sigma ^{2}$ . Wówczas zmienna $t$ ma rozkład Studenta o $v=n-1$ stopniach swobody,
dwie próby o liczebności $n_{1}$ oraz $n_{2}$ , wartościach średnich ${\bar {X_{1}}}$ oraz ${\bar {X_{2}}}$ i wariancja określona z próby $s_{1}^{2}$ oraz $s_{2}^{2}$ wylosowane z populacji o jednakowym rozkładzie normalnym, powodują, że zmienna $t$ ma rozkład Studenta o $v=n_{1}+n_{2}-2$ .

Rozkład ten jest wykorzystywany w testach parametrycznych, estymacji przedziałowej, wartości średnich i wariancji oraz testach istotności, gdy chodzi o próby z niewielką liczebnością, czyli gdy $n\leqslant 30$ . W przypadku metrologii rozkładu Studenta używa się do estymacji odchylenia standardowego. Jeśli chodzi o duże próby, gdzie $n\geqslant 30$ rozkład t-Studenta jest tożsamy z rozkładem normalnym, a dla mniejszych prób estymator odchylenia standardowego powinien zostać pomnożony przez wartość krytyczną rozkładu, gdzie liczba stopni swobody wynosi $v=n-1$ , a poziom istotności przyjmuje wartość $\alpha$ (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).

Przykłady zastosowania testu t-Studenta

Test t-Studenta można wykorzystać w badaniu różnych zjawisk w zależności od posiadanych danych. Poniżej zostały przedstawione przykłady problemów badawczych w odniesieniu do rodzajów testów t-Studenta (R. Magiera 2018, s. 226):

dla jednej próby

Czy wpływy ze sztabów WOŚP w woj. Lubelskim różnią się od średniej z ubiegłego roku?

Czy inteligencja studentów z UEK różni się od średniej w populacji?

dla prób skorelowanych (zależnych)

Czy słuchanie muzyki podczas rozwiązywania zadań wydłuża czas znalezienia rozwiązania?

Czy istnieje różnica między wysokością zarobków na początku zatrudnienia a wysokością zarobków po 5 latach pracy?

dla prób nieskorelowanych (niezależnych)

Czy kobiety i mężczyźni różnią się liczbą podejść do egzaminy na prawo jazdy?

Czy mieszkańcy miast i wsi różnią się od siebie wysokością zarobków?

Test t Studenta — artykuły polecane
Analiza regresji — Rozkład t-Studenta — Przedział ufności — Współczynnik determinacji — Rozkład normalny — Średnia — Próba — Współczynnik korelacji rang Spearmana — Test zgodności chi-kwadrat

Bibliografia

Bobowski Z. (2004), Wybrane metody statystyki opisowej i wnioskowania statystycznego, WWSZiP, Wałbrzych
Gardoń A. (2011), Rozkład statystyki T-Studenta przy danej wariancji z próby o rozkładzie normalnym, Didactics of Mathematics, Nr 8
Kurkiewicz J. (2005), Podstawy statystyki, Oficyna Wydawnicza AFM, Kraków
Lipińska K. (2010), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechniki Warszawskiej OKNO, Warszawa
Magiera R. (2018), Modele i metody statystyki matematycznej, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław
Malska W. (2015), Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym, Edukacja - Technika - Informatyka nr 3(13)
Sobczyk M. (2007), Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

Autor: Anna Tas

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Test t- Studenta''' jest wykorzystywany w celu porównania grup, dla których mamy wyniki, czyli chcemy stwierdzić czy wyniki w jednej grupie są większe bądź mniejsze niż w drugiej grupie. Testu t- Studenta nie należy wykonywać dla więcej niż dwóch grup. Odpowiada on na pytanie czy średnie wartości badanych zmiennych w dwóch grupach różnią się od siebie statystycznie istotnie (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).
+'''Test t - Studenta''' jest wykorzystywany w celu porównania grup, dla których mamy wyniki, czyli chcemy stwierdzić czy wyniki w jednej grupie są większe bądź mniejsze niż w drugiej grupie. Testu t - Studenta nie należy wykonywać dla więcej niż dwóch grup. Odpowiada on na pytanie czy średnie wartości badanych zmiennych w dwóch grupach różnią się od siebie statystycznie istotnie (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).
+==TL;DR==
+Test t-Studenta jest wykorzystywany do porównywania wyników między dwiema grupami. Ma trzy rodzaje: dla prób niezależnych, dla prób zależnych i dla jednej próby. Test opiera się na założeniu rozkładu normalnego i podobności wariancji w grupach. Rozkład t-Studenta jest stosowany w statystyce i metrologii dla prób o małej liczebności. Test t-Studenta może być używany w różnych badaniach, takich jak porównywanie wpływów z różnych źródeł czy różnic między grupami społecznymi.
 ==Założenia testów t-Studenta==
 Założenie testów t-Studenta jest następujące (M. Sobczyk 2007, s. 134-136):
 # rozkład wyników zmiennej zależnej w badanych grupach jest zbliżony do rozkładu normalnego,
 # porównywane grupy są podobne pod kątem ilości badanych osób,
 # homogeniczność wariancji, tzn. wariancje w grupach badanych są do siebie podobne
 # zmienna zależna powinna być mierzona na skali ilościowej
-Test t- Studenta jest '''testem parametrycznym''', czyli opiera się na obliczaniu wartości średniej i odchylenia standardowego. Posiadając zmienne mierzone w skali porządkowej czy nominalnej obliczenie wartości za pomocą t-Studenta nie jest możliwe. W tym przypadku powinien zostać zastosowany jego odpowiedni dla testów nieparametrycznych, a mianowicie test U Manna-Whitneya (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).
+Test t - Studenta jest '''testem parametrycznym''', czyli opiera się na obliczaniu wartości średniej i odchylenia standardowego. Posiadając zmienne mierzone w skali porządkowej czy nominalnej obliczenie wartości za pomocą t-Studenta nie jest możliwe. W tym przypadku powinien zostać zastosowany jego odpowiedni dla testów nieparametrycznych, a mianowicie test U Manna-Whitneya (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).
 ==Rodzaje testów==
 Istnieją trzy rodzaje testu t-Studenta (W. Malska 2015, s. 326):
-* '''dla prób niezależnych''' – ocenia różnice między niezależnymi grupami np. między grupą kontrolną a eksperymentalną, kobietami a mężczyznami czy grupą starszych i młodszych. Aby wyniki wyszły prawidłowe należy mieć na uwadze takie czynniki jak: pomiar ilościowy zmiennej zależnej, zmienna niezależna powinna być dychotomiczna, rozkład w grupach powinien być normalny, wariancje oraz liczebność grup jest zbliżona. Porównanie grupy badanych następuje z wykorzystaniem testu zgodności chi-kwadrat (test Pearsona). Wzór dla prób niezależnych wygląda następująco (W. Malska 2015, s. 326):
+* '''dla prób niezależnych''' - ocenia różnice między niezależnymi grupami np. między grupą kontrolną a eksperymentalną, kobietami a mężczyznami czy grupą starszych i młodszych. Aby wyniki wyszły prawidłowe należy mieć na uwadze takie czynniki jak: pomiar ilościowy zmiennej zależnej, zmienna niezależna powinna być dychotomiczna, rozkład w grupach powinien być normalny, wariancje oraz liczebność grup jest zbliżona. Porównanie grupy badanych następuje z wykorzystaniem testu zgodności chi-kwadrat (test Pearsona). Wzór dla prób niezależnych wygląda następująco (W. Malska 2015, s. 326):
 <math>T=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{S{x_1-x_2}}</math>
-* '''dla prób zależnych''' – Jest to klasyczny przykład testu wykonywanego przed i po zaistniałej zmianie. W odróżnieniu od testu dla prób niezależnych, bierze pod uwagę i ocenia te same grupy osób. Obserwacja musi odbyć się dwa razy, a badane próby są powiązane ze sobą. Próba ta zestawia ze sobą wynik i pierwszego i drugiego pomiaru dokonywanego na jednej zmiennej. Zmienna jest badana w odniesieniu do innych warunków, jakie zachodzą, jednakże z uwzględnieniem tej samej grupy badanych. Próba zależna wymaga zaistnienia określonych czynników: zmiennej zależnej w pomiarze ilościowym; rozkładu zmiennej, który jest normalny; zastosowania identycznej skali pomiaru przy obydwu pomiarach, normalność rozkładu różnic zmiennych (W. Malska 2015, s. 326): <math>T=\frac{\bar{D}}{S_D/\sqrt{n}}</math>
+* '''dla prób zależnych''' - Jest to klasyczny przykład testu wykonywanego przed i po zaistniałej zmianie. W odróżnieniu od testu dla prób niezależnych, bierze pod uwagę i ocenia te same grupy osób. Obserwacja musi odbyć się dwa razy, a badane próby są powiązane ze sobą. Próba ta zestawia ze sobą wynik i pierwszego i drugiego pomiaru dokonywanego na jednej zmiennej. Zmienna jest badana w odniesieniu do innych warunków, jakie zachodzą, jednakże z uwzględnieniem tej samej grupy badanych. Próba zależna wymaga zaistnienia określonych czynników: zmiennej zależnej w pomiarze ilościowym; rozkładu zmiennej, który jest normalny; zastosowania identycznej skali pomiaru przy obydwu pomiarach, normalność rozkładu różnic zmiennych (W. Malska 2015, s. 326): <math>T=\frac{\bar{D}}{S_D/\sqrt{n}}</math>
-* '''dla jednej próby''' – test ten pozwala wyciągnąć wnioski z zestawienia: średniego wyniki dokonanego na jednej grupie osób poddanych w badaniu, z odchyleniem standardowym wynikającym z tego samego badania na tej samej, jednej grupie badanych. Obydwa te pomiary koreluje się z założoną na potrzeby tego badania wartością. Wartość ta może być przyjęta hipotetycznie lub można wynika z innych badań. Test jednej próby używany jest, kiedy dokonywany jest pomiar zmiennej o ile znajduje się ona na skali ilościowej i ma rozkład normalny (W. Malska 2015, s. 326): <math>T=\frac{\bar{X_1}-&mu;}{Sx_1}</math>
+* '''dla jednej próby''' - test ten pozwala wyciągnąć wnioski z zestawienia: średniego wyniki dokonanego na jednej grupie osób poddanych w badaniu, z odchyleniem standardowym wynikającym z tego samego badania na tej samej, jednej grupie badanych. Obydwa te pomiary koreluje się z założoną na potrzeby tego badania wartością. Wartość ta może być przyjęta hipotetycznie lub można wynika z innych badań. Test jednej próby używany jest, kiedy dokonywany jest pomiar zmiennej o ile znajduje się ona na skali ilościowej i ma rozkład normalny (W. Malska 2015, s. 326): <math>T = \frac{\bar{X_1} - \mu}{Sx_1}</math>
+<google>n</google>
 ==Rozkład t-Studenta==
 '''Rozkład t-Studenta''' zwany również rozkładem t to model teoretyczny wykorzystywany do przybliżenia momentu pierwszego rzędu populacji o rozkładzie normalnym, przy niewielkiej wielkości próby oraz nieznanym odchyleniem standardowym. Jest to rozkład prawdopodobieństwa, który podaje wartość małej próby z populacji, posiadającej rozkład normalny i dla której brak jest informacji o odchyleniu standardowym. W przeciwieństwie do rozkładu normalnego rozkład t zależy jedynie od stopni swobody (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).
-Rozkład t-Studenta jest stosowany w statystyce i metrologii. Opierają się na dwóch podstawowych twierdzeniach:
+Rozkład t-Studenta jest stosowany w statystyce i metrologii. Opierają się na dwóch podstawowych twierdzeniach (M. Sobczyk 2007, s. 134-136):
-# zmienne losowe <math>X_1,X_2,…X_n</math> mają taki sam rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej <math>m</math> i wariancji <math>&sigma;^2</math>. Wówczas zmienna <math>t</math> ma rozkład Studenta o <math>v=n-1</math> stopniach swobody.
+# zmienne losowe <math>X_1,X_2,...,X_n</math> mają taki sam rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej <math>m</math> i wariancji <math>\sigma^2</math>. Wówczas zmienna <math>t</math> ma rozkład Studenta o <math>v=n-1</math> stopniach swobody,
-# dwie próby o liczebności <math>n_1</math> oraz <math>n_2</math>, wartościach średnich <math>\bar{X_1}</math> oraz <math>\bar{X_2}</math> i wariancja określona z próby <math>s^2_1</math> oraz <math>s^2_2</math> wylosowane z populacji o jednakowym rozkładzie normalnym, powodują, że zmienna <math>t</math> ma rozkład Studenta o <math>v=n_1+n_2-2</math>
+# dwie próby o liczebności <math>n_1</math> oraz <math>n_2</math>, wartościach średnich <math>\bar{X_1}</math> oraz <math>\bar{X_2}</math> i wariancja określona z próby <math>s^2_1</math> oraz <math>s^2_2</math> wylosowane z populacji o jednakowym rozkładzie normalnym, powodują, że zmienna <math>t</math> ma rozkład Studenta o <math>v=n_1+n_2-2</math>.
-Rozkład ten jest wykorzystywany w testach parametrycznych, estymacji przedziałowej, wartości średnich i wariancji oraz testach istotności, gdy chodzi o próby z niewielką liczebnością, czyli gdy <math>n\leqslant30</math>. W przypadku metrologii rozkładu Studenta używa się do estymacji odchylenia standardowego. Jeśli chodzi o duże próby, gdzie <math>n\geqslant30</math> rozkład t-Studenta jest tożsamy z rozkładem normalnym, a dla mniejszych prób estymator odchylenia standardowego powinien zostać pomnożony przez wartość krytyczną rozkładu, gdzie liczba stopni swobody wynosi <math>v=n-1</math>, a poziom istotności przyjmuje wartość <math>&alpha;</math>. (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).
+Rozkład ten jest wykorzystywany w testach parametrycznych, estymacji przedziałowej, wartości średnich i wariancji oraz testach istotności, gdy chodzi o próby z niewielką liczebnością, czyli gdy <math>n \leqslant 30</math>. W przypadku metrologii rozkładu Studenta używa się do estymacji odchylenia standardowego. Jeśli chodzi o duże próby, gdzie <math>n \geqslant 30</math> rozkład t-Studenta jest tożsamy z rozkładem normalnym, a dla mniejszych prób estymator odchylenia standardowego powinien zostać pomnożony przez wartość krytyczną rozkładu, gdzie liczba stopni swobody wynosi <math>v=n-1</math>, a poziom istotności przyjmuje wartość <math>\alpha</math> (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).
 ==Przykłady zastosowania testu t-Studenta==
-'''Test t-Studenta''' można wykorzystać w badaniu różnych zjawisk w zależności od posiadanych danych. Poniżej zostały przedstawione przykłady problemów badawczych w odniesieniu do rodzajów testów t-Studenta:
+'''Test t-Studenta''' można wykorzystać w badaniu różnych zjawisk w zależności od posiadanych danych. Poniżej zostały przedstawione przykłady problemów badawczych w odniesieniu do rodzajów testów t-Studenta (R. Magiera 2018, s. 226):
 # '''dla jednej próby'''
 ''Czy wpływy ze sztabów WOŚP w woj. Lubelskim różnią się od średniej z ubiegłego roku?''
 ''Czy inteligencja studentów z UEK różni się od średniej w populacji?''
 # '''dla prób skorelowanych (zależnych)'''
 ''Czy słuchanie muzyki podczas rozwiązywania zadań wydłuża czas znalezienia rozwiązania?''
-''Czy istnieje różnica między wysokością zarobków na początku zatrudnienia a wysokością zarobków po 5 latach pracy?''
+''Czy istnieje różnica między wysokością zarobków na początku zatrudnienia a wysokością zarobków po 5 latach pracy?''
 # '''dla prób nieskorelowanych (niezależnych)'''
 ''Czy kobiety i mężczyźni różnią się liczbą podejść do egzaminy na prawo jazdy?''
-''Czy mieszkańcy miast i wsi różnią się od siebie wysokością zarobków?''
+''Czy mieszkańcy miast i wsi różnią się od siebie wysokością zarobków?''
+{{infobox5|list1={{i5link|a=[[Analiza regresji]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Rozkład t-Studenta]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Przedział ufności]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Współczynnik determinacji]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Rozkład normalny]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Średnia]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Próba]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Współczynnik korelacji rang Spearmana]]}} &mdash; {{i5link|a=[[Test zgodności chi-kwadrat]]}} }}
 ==Bibliografia==
-* Bobowski Z. (2004), ''Wybrane metody statystyki opisowej w wnioskowania statystycznego'', Wydawnictwo WWSZiP, s. 137-157.
+<noautolinks>
-* Gardoń A. (2011),  ''[https://dbc.wroc.pl/Content/34583/download/ Rozkład statystyki T-Studenta przy danej wariancji z próby o rozkładzie normalnym]'', "Didactics of Mathematics", Nr 8 (12), s. 17-30.
+* Bobowski Z. (2004), ''Wybrane metody statystyki opisowej i wnioskowania statystycznego'', WWSZiP, Wałbrzych
-* Kurkiewicz J. (2005), ''Podstawy statystyki'', Oficyna Wydawnicza AFM, Kraków, s 190-203.
+* Gardoń A. (2011), ''[https://dbc.wroc.pl/Content/34583/download/ Rozkład statystyki T-Studenta przy danej wariancji z próby o rozkładzie normalnym]'', Didactics of Mathematics, Nr 8
-* Lipińska K. (2010), ''Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka'', Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechniki Warszawskiej OKNO, Warszawa, s. 69-72.
+* Kurkiewicz J. (2005), ''Podstawy statystyki'', Oficyna Wydawnicza AFM, Kraków
-* Magiera R. (2018), ''[http://www.gis.wroc.pl/pdf/mimsm2_www.pdf Modele i metody statystyki matematycznej]'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław.
+* Lipińska K. (2010), ''Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka'', Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechniki Warszawskiej OKNO, Warszawa
-* Malska W. (2015), ''[http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:pXeugSuo-0IJ:cejsh.icm.edu.pl/cejsh/element/bwmeta1.element.desklight-5d9fba13-767c-48c1-9e27-702d30775f48/c/047__ETI_nr_Vol_6_3_Wykorzystanie_testu.pdf+&cd=10&hl=pl&ct=clnk&gl=pl Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym]'', „Edukacja – Technika – Informatyka” nr 3(13), s. 326.
+* Magiera R. (2018), ''Modele i metody statystyki matematycznej'', Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław
-* Sobczyk M. (2007), ''Statystyka'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, s. 146-150.
+* Malska W. (2015), ''Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym'', Edukacja - Technika - Informatyka nr 3(13)
+* Sobczyk M. (2007), ''Statystyka'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
+</noautolinks>
 {{a|Anna Tas}}
-[[Kategoria: Statystyka i Ekonometria]]
+[[Kategoria:Miary statystyczne]]
+{{#metamaster:description|Test t-Studenta - narzędzie statystyczne do porównywania wyników między dwiema grupami. Sprawdź, czy wartości średnie różnią się istotnie. Dowiedz się więcej.}}

Anonimowy

Szukaj

Test t Studenta: Różnice pomiędzy wersjami

Przestrzenie nazw

Więcej

Działania na stronie

Aktualna wersja na dzień 00:17, 5 sty 2024

Spis treści

TL;DR

Założenia testów t-Studenta

Rodzaje testów

Rozkład t-Studenta

Przykłady zastosowania testu t-Studenta

Bibliografia

Nawigacja

Encyklopedia

Narzędzia wiki

Narzędzia wiki

Anonimowy

Szukaj

Test t Studenta: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 00:17, 5 sty 2024

TL;DR

Założenia testów t-Studenta

Rodzaje testów

Rozkład t-Studenta

Przykłady zastosowania testu t-Studenta

Bibliografia

Nawigacja

Narzędzia wiki

Narzędzia dla stron

Kategorie