Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy
Polecane artykuły
Korelacja Wariancja składnika resztowego Dwuszczeblowe sterowanie zapasami Skala interwałowa Amplituda Średnia geometryczna Teoria kolejek Estymator obciążony Model Baumola

Rozkład wykładniczy (ang. exponential distribution) to rodzaj rozkładu prawdopodobieństwa, który jest używany do modelowania procesów, w których zdarzenia zachodzą losowo i niezależnie. Jest to jeden z podstawowych rozkładów stochastycznych, który jest często stosowany w teorii ryzyka, statystyce, inżynierii i naukach przyrodniczych.

Formuły obliczeniowe

Rozkład wykładniczy jest oparty na jednym parametrze - średnią ilością czasu między zdarzeniami (λ).

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu wykładniczego jest następująca: $f(x)=\lambda *e^{-\lambda x}$ dla x >= 0, gdzie e to liczba Eulera (ok. 2,718)

Funkcja dystrybuanty dla rozkładu wykładniczego jest następująca: $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ dla x >= 0

Rozkład wykładniczy ma kilka ważnych własności, takie jak:

• Średnia: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1 \over λ}
• Wariancja: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1 \over λ^2}
• Mediana: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ln(2) \over λ}
• Momenty: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle E(X^n) = n! \over λ^n}

Zastosowania

Rozkład wykładniczy jest często stosowany do modelowania procesów, w których zdarzenia zachodzą losowo i niezależnie. Przykłady zastosowania rozkładu wykładniczego to:

• Modelowanie czasu między awariami maszyn lub urządzeń
• Modelowanie czasu między zamówieniami w e-commerce
• Modelowanie czasu między wystąpieniami chorób w medycynie
• Modelowanie czasu między transakcjami w rynku finansowym
• Modelowanie procesów dyfuzyjnych w chemii i fizyce.

Rozkład wykładniczy jest też używany w modelowaniu rozkładu Poissona, który jest rozkładem liczb zdarzeń losowych w danej przedziału czasowym, gdzie zdarzenia są niezależne i zachodzą z określoną średnią liczbą zdarzeń na jednostkę czasu.

Różnice pomiędzy rozkładem wykładniczym, a innymi rodzajami rozkładów

Rozkład wykładniczy różni się od innych rodzajów rozkładów prawdopodobieństwa tym, że jego gęstość prawdopodobieństwa jest ciągła i ma kształt krzywej wykładniczej. Jest on też jedynym rozkładem, w którym średnia i wariancja są równe parametrowi rozkładu. Inne rozkłady prawdopodobieństwa, takie jak rozkład normalny czy rozkład jednostajny, mają inne kształty gęstości prawdopodobieństwa i różnią się od rozkładu wykładniczego właściwościami statystycznymi.

Polecana literatura

• Marshall, A. W., & Olkin, I. (1967). A multivariate exponential distribution. Journal of the American Statistical Association, 62(317), 30-44.