Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna lub moduł liczby rzeczywistej x jest nieujemną wartością x bez względu na jej znak. A więc |x| = x dla dodatniego x, |x| = -x dla ujemnego x i |0| = 0.

Na przykład wartość bezwzględna liczby 3 wynosi 3, a liczby - 3 również 3. Wartość bezwzględną liczby można uważać za odległość od zera.

Uogólnienia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych występują w wielu różnych obszarach matematycznych. Na przykład wartość bezwzględna jest również zdefiniowana dla liczb zespolonych, kwaternionów, uporządkowanych pierścieni, pól i przestrzeni wektorowych. Wartość bezwzględna jest ściśle związana z pojęciem wielkości, odległości i normy w zależności od kontekstów matematycznych i fizycznych.

TL;DR

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest nieujemną wartością liczby, niezależnie od jej znaku. Jest to odległość liczby od zera. Terminologia i zapis wartości bezwzględnej zostały wprowadzone przez Jean-Roberta Arganda i Karla Weierstrassa. Wartość bezwzględna ma wiele własności i jest funkcją ciągłą, ale nieodwracalną. Jej pochodna jest funkcją znaku. Wartość bezwzględna reprezentuje odległość liczby od początku na płaszczyźnie rzeczywistej lub zespolonej.

Terminologia i zapis

W 1806 roku Jean-Robert Argand wprowadził termin moduł, oznaczający jednostkę miary w języku francuskim, w szczególności w odniesieniu do złożonej wartości bezwzględnej. Termin ten został zapożyczony na język angielski w 1866 r. jako latynoski moduł równoważny. Termin wartość bezwzględna jest używany w tym znaczeniu od co najmniej 1806 po francusku i po 1857 po angielsku. Oznaczenie | x |, z pionową kreską z każdej strony, zostało wprowadzone przez Karla Weierstrassa w 1841 roku. Inne nazwy wartości bezwzględnych obejmują wartości liczbowe i wielkość. W językach programowania i pakietach oprogramowania obliczeniowego bezwzględna wartość x jest zwykle reprezentowana przez 'abs (x) lub podobne wyrażenie. Zapis z dwoma pionowymi kreskami występuje również w wielu innych kontekstach matematycznych: na przykład, gdy jest zastosowany do zbioru, oznacza jego liczność; po zastosowaniu do matrycy oznacza jego wyznacznik. Pionowe kreski oznaczają wartość bezwzględną tylko dla obiektów algebraicznych, dla których definiowane jest pojęcie wartości bezwzględnej, w szczególności element normowanej algebry podziału, jak liczba rzeczywista, liczba zespolona, kwaternion (E.Schechter 1997).

Definicja

Dla każdej liczby rzeczywistej x, wartość bezwzględna x, oznaczona przez | x | jest zdefiniowana jako: $|x|={\begin{cases}x&{\text{dla }}x\geqslant 0\\-x&{\text{dla }}x<0.\end{cases}}$

Wartość bezwzględna x jest więc zawsze dodatnia lub zerowa, ale nigdy ujemna: gdy x jest ujemne, wówczas jego bezwzględna wartość jest i tak dodatnia.

Z punktu widzenia geometrii analitycznej, wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością liczby od zera wzdłuż rzeczywistej linii liczbowej. Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych odpowiada odległości między nimi (S.Dickstein 1891).

Ponieważ symbol pierwiastka kwadratowego oznacza dodatki pierwiastek, wówczas: $|a|={\sqrt {a^{2}}}$ ten wzór jest czasami używany do definicji wartości bezwzględnej.

Wartość bezwzględna posiada cztery podstawowe własności:

• $|x|\geqslant 0,$
• $|x|=0\Leftrightarrow x=0,$
• $|xy|=|x||y|,$
• $|x+y|\leqslant |x|+|y|.$

Istnieje wiele dodatkowych własności wartości bezwzględnej:

• $|-x|=|x|,$
• $|x-y|=0\Leftrightarrow x=y,$
• $|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|,$
• $\left|{\tfrac {x}{y}}\right|={\tfrac {|x|}{|y|}},{\text{ o ile }}y\neq 0,$

Funkcja wartości bezwzględnej

Funkcja wartości bezwzględnej jest ciągła w każdym punkcie. Różniczkuje się wszędzie, z wyjątkiem punktu x = 0. Ma ona charakter monotoniczny malejący w przedziale (-∞, 0) i monotonicznie rosnący w przedziale [0, + ∞]. Ponieważ liczba rzeczywista i jej przeciwieństwo mają tę samą wartość bezwzględną, jest funkcją parzystą, a zatem nie jest odwracalna. Funkcja wartości bezwzględnej jest funkcją idempotentną.

Pochodna

Funkcja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej zwraca jej wartość niezależnie od jej znaku, podczas gdy pochodna to funkcja znaku (signum). Jest opisana wzorem: $sgn(x)={\frac {x}{|x|}}$ dla $x\neq 0$. Funkcja znaku jest szczególnym przypadkiem funkcji skokowej Heaviside’a, która używana jest do przetwarzania sygnałów.

Funkcja znaku jest stała w otoczeniu dowolnego punktu różnego od zera, stąd druga pochodna |x| względem x jest równa zeru wszędzie poza zerem, gdzie nie jest określona.

Funkcja wartości bezwzględnej jest całkowalna (Z.Bobiński 2014).

Odległość

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej lub zespolonej jest odległością tej liczby od początku, wzdłuż rzeczywistej prostej - dla liczb rzeczywistych lub na płaszczyźnie zespolonej - dla liczb zespolonych.

Odległość wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych lub zespolonych pokrywa się z odległością euklidesową, którą dziedziczą poprzez postrzeganie ich odpowiednio jako jedno - i dwuwymiarowych przestrzeni euklidesowych (S.Mac Lane 2010).

Wartość bezwzględna — artykuły polecane

Dystrybuanta rozkładu normalnego — Korelacja — Rozkład Poissona — Średnia — Kowariancja — Zmienna losowa — Rozkład normalny — Przedział ufności — Kwartyl

Bibliografia

• Bobiński Z. (2014), Wartość bezwzględna, Aksjomat Piotr Nodzynski, Toruń
• Dickstein S. (1891), Pojęcia i metody matematyki, Wydawnictwo redakcyi Prac matematyczno-fizycznych, Warszawa
• Lane S. (2010), Algebra, AMS Chelsea Publishing, Nowy Jork
• Major J., Powązka Z. (2017), Uwagi dotyczące pojęcia wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis
• Mangasarian O. (2006), Absolute value equations, Science Direct
• Popiołek J. (2003), Some Properties of Functions Modul and Signum, Journal of Formalized Mathematics, nr 1
• Schechter E. (1997), Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, Londyn
• Yong L. (2010), Particle Swarm Optimization for Absolute Value Equations, Journal of Computational Information Systems

Autor: Aleksandra Sośnicka