Ekstrapolacja

Ekstrapolacja - w matematyce jest rodzajem szacowania, poza pierwotnym zakresem obserwacji, wartości zmiennej na podstawie jej związku z inną zmienną. Jest ona podobna do interpolacji, która pozwala uzyskać szacunki między znanymi obserwacjami, ale ekstrapolacja jest obarczona większą niepewnością i wyższym ryzykiem uzyskania bezsensownych wyników.

Ekstrapolacja może również oznaczać rozszerzenie metody, przy założeniu, że podobne metody będą miały zastosowanie. Może ona też dotyczyć doświadczenia ludzkiego, polegającego na rzutowaniu, rozszerzaniu lub rozszerzaniu znanych doświadczeń na obszar nieznany, lub wcześniej doświadczany w celu uzyskania (zwykle przypuszczalnej) wiedzy o nieznanym (np. kierowca podczas jazdy ekstrapoluje warunki drogowe poza zasięgiem swojego wzroku). Metoda ekstrapolacji może być zastosowana w problemie rekonstrukcji wnętrza (C. Brzezinski, 1978).

TL;DR

Ekstrapolacja to metoda szacowania wartości zmiennej poza znany zakres na podstawie jej związku z inną zmienną. Istnieją różne metody ekstrapolacji, takie jak liniowa, wielomianowa, stożkowa, krzywa francuska, geometryczna z przewidywaniem błędu. Jakość ekstrapolacji zależy od założeń metody i charakterystyki danych. Może być również stosowana w analizie zespolonej i kontynuacji analitycznej. Argumenty ekstrapolacyjne są używane do uzasadniania prawdziwości czegoś poza znanym zakresem.

Metody ekstrapolacji

Trafny wybór metody ekstrapolacji zależy od wcześniejszej wiedzy na temat procesu, w wyniku którego powstały istniejące punkty danych. Niektórzy eksperci zaproponowali wykorzystanie sił przyczynowych w ocenie metod ekstrapolacji (Z. Pawłowski, 1982). Kluczowe pytania dotyczą na przykład tego, czy można założyć, że dane są ciągłe, gładkie, ewentualnie okresowe itp.

Ekstrapolacja liniowa

Ekstrapolacja liniowa polega na utworzeniu linii stycznej na końcu znanych danych i przedłużeniu jej poza tę granicę. Ekstrapolacja liniowa daje dobre wyniki tylko wtedy, gdy jest stosowana do przedłużenia wykresu funkcji w przybliżeniu liniowej lub niezbyt daleko poza znane dane. Jeśli dwa punkty danych najbliższe punktowi x$*$, które mają być ekstrapolowane to (x_k-1, y_k-1) i (x_k, y_k), w wyniku ekstrapolacji liniowej otrzymujemy funkcję:

$Y(x*)=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-Y_{k-1})$

co jest identyczne z interpolacją liniową, jeśli $(x_{k-1}<x*<x_{k})$. Możliwe jest uwzględnienie więcej niż dwóch punktów i uśrednienie nachylenia interpolanty liniowej za pomocą technik podobnych do regresji na punktach danych wybranych do uwzględnienia. Jest to podobne do predykcji liniowej.

Ekstrapolacja wielomianowa

Krzywą wielomianową można utworzyć dla całych znanych danych lub tylko w pobliżu ich końca (dwa punkty dla ekstrapolacji liniowej, trzy punkty dla ekstrapolacji kwadratowej itd.) Uzyskaną krzywą można następnie przedłużyć poza koniec znanych danych. Ekstrapolacja wielomianowa jest zwykle wykonywana za pomocą interpolacji Lagrange'a lub metody różnic skończonych Newtona w celu utworzenia szeregu Newtona pasującego do danych. Otrzymany wielomian można wykorzystać do ekstrapolacji danych. Ekstrapolacja wielomianami wysokiego rzędu musi być stosowana z należytą ostrożnością. W przypadku przykładowego zbioru danych i problemu przedstawionego na rysunku powyżej wszelkie wartości powyżej rzędu 1 (ekstrapolacja liniowa) mogą dać nieprzydatne wartości; błąd oszacowania ekstrapolowanej wartości będzie rósł wraz ze stopniem wielomianu ekstrapolacji.

Ekstrapolacja stożkowa

Odcinek stożkowy można utworzyć przy użyciu pięciu punktów znajdujących się w pobliżu końca znanych danych. Jeśli utworzony odcinek stożkowy jest elipsą lub okręgiem, to po ekstrapolacji zapętli się i ponownie połączy. Ekstrapolowana parabola lub hiperbola nie połączy się ponownie, ale może zakrzywić się do tyłu względem osi X. Tego typu ekstrapolację można wykonać za pomocą szablonu odcinków stożkowych (na papierze) lub za pomocą komputera.

Krzywa francuska

Ekstrapolacja krzywej francuskiej jest metodą odpowiednią dla każdego rozkładu, który ma tendencję do bycia wykładniczym, ale z czynnikami przyspieszającymi lub spowalniającymi (A. Duda, 2016). Metoda ta była z powodzeniem stosowana w prognozowaniu wzrostu zachorowań na HIV/AIDS w Wielkiej Brytanii od 1987 r. oraz wariantu CJD w Wielkiej Brytanii przez wiele lat. W innym badaniu wykazano, że ekstrapolacja może zapewnić taką samą jakość wyników prognozowania jak bardziej złożone strategie prognostyczne (M. Sobczyk, 2008).

Ekstrapolacja geometryczna z przewidywaniem błędu

Może być utworzona z 3 punktów sekwencji i "momentu" lub "indeksu", ten typ ekstrapolacji ma 100% dokładność prognozowania w dużym odsetku znanych baz danych szeregów (M. Witkowski i inni, 2006).

Jakość ekstrapolacji

Zazwyczaj jakość danej metody ekstrapolacji jest ograniczona założeniami dotyczącymi funkcji przyjętymi w tej metodzie. Jeśli metoda zakłada, że dane są gładkie, wówczas funkcja, która nie jest gładka, będzie słabo ekstrapolowana. Jeśli chodzi o złożone szeregi czasowe, niektórzy eksperci odkryli, że ekstrapolacja jest dokładniejsza, gdy przeprowadza się ją poprzez dekompozycję sił przyczynowych (C. Brezinski i inni, 2001).

Analiza zespolona

W analizie zespolonej problem ekstrapolacji można przekształcić w problem interpolacji przez zmianę zmiennej $z=1/z$. Przekształcenie to zamienia część płaszczyzny zespolonej wewnątrz okręgu jednostkowego na część płaszczyzny zespolonej poza okręgiem jednostkowym. W szczególności, punkt zwarty w nieskończoności jest odwzorowywany na początek i odwrotnie. Z tym przekształceniem należy jednak uważać, ponieważ pierwotna funkcja mogła mieć w nieskończoności "cechy", na przykład bieguny i inne osobliwości, które nie wynikały z danych próbkowanych.

Kontynuacja analityczna

Inny problem ekstrapolacji jest luźno związany z problemem kontynuacji analitycznej, gdzie (zazwyczaj) szereg potęgowy funkcji jest rozszerzany w jednym z punktów zbieżności, aby otrzymać szereg potęgowy o większym promieniu zbieżności. W efekcie zbiór danych z małego obszaru jest używany do ekstrapolacji funkcji na większy obszar. Również w tym przypadku kontynuacja analityczna może zostać udaremniona przez cechy funkcji, które nie były widoczne w danych początkowych.

Argumenty ekstrapolacji

Argumenty ekstrapolacyjne są nieformalnymi i niekwantyfikowanymi argumentami, które twierdzą, że coś jest prawdopodobnie prawdziwe poza zakresem wartości, dla których wiadomo, że jest prawdziwe. Na przykład wierzymy w prawdziwość tego, co widzimy przez lupę, ponieważ zgadza się to z tym, co widzimy gołym okiem, ale wykracza poza ten zakres; wierzymy w to, co widzimy przez mikroskop świetlny, ponieważ zgadza się to z tym, co widzimy przez lupę, ale wykracza poza ten zakres; podobnie jest w przypadku mikroskopów elektronowych. Takie argumenty są szeroko stosowane w biologii przy ekstrapolacji z badań na zwierzętach na ludzi oraz z badań pilotażowych na szerszą populację. Podobnie jak argumenty o śliskiej nawierzchni, argumenty ekstrapolacyjne mogą być mocne lub słabe, w zależności od takich czynników, jak to, jak daleko ekstrapolacja wykracza poza znany zakres (Brezinski C. i inni, 2002).

Ekstrapolacja — artykuły polecane

ANOVA — Alfa Cronbacha — Poziom istotności — Analiza regresji — Krzywa wzorcowa — Próba — Test t Studenta — Analiza czynnikowa — Permutacja

Bibliografia

• Brezinski C. (1978), Algorytmy przyspieszania konwergencji: badanie cyfrowe, Technip, Paryż
• Brezinski C., Redivo-Zaglia M. (2001), Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland
• Brezinski C., Redivo-Zaglia M. (2002), Extrapolation and Rational Approximation, Springer Nature, Switzerland
• Duda A. (2016), Modelowanie i prognozowanie ekonometryczne w logistyce przedsiębiorstwa, Systemy Logistyczne Wojsk. Zeszyty Naukowe Instytutu Logistyki Wydziału Logistyki Wojskowej Akademii Technicznej, nr 44
• Jakóbczak D. J., (2017), Probabilistic Nodes Combination (PNC) for Object Modeling and Contour Reconstruction, USA
• Knosala E. (2021), Zarys teorii decyzji w nauce administracji, Warszawa
• Pawłowski Z. (1982), Zasady predykcji ekonometrycznej, PWN, Warszawa
• Sidi A. (2003), Practical Extrapolation Methods: Theory and Applications, Cambridge University Press
• Sobczyk M. (2008), Prognozowanie. Teoria. Przykłady. Zadania, Placet, Warszawa
• Wapenaar C., Berkout A. (2014), Elastic Wave Field Extrapolation: Redatuming of Single - and Multi-Component Seismic Data, Nowy York
• Witkowski M., Klimanek T. (2006), Prognozowanie gospodarcze i symulacje w przykładach i zadaniach, AE, Poznań

Autor: Agnieszka Krztoń