Rozkład dwumianowy

Z Encyklopedia Zarządzania

Rozkład dwumianowy – rozkład prawdopodobieństwa sformułowany przez szwajcarskiego matematyka Johanna Bernulliego (1654-1705). Zmianna losowa ma rozkład dwumianowy, gdy zostaną spełnione następujące warunki:

  • Liczba prób jest ustalona – we wzorach najczęściej określana jako „n”.
  • Wynikiem każdej próby mogą być jedynie stany: sukces i porażka.
  • Każda z prób jest niezależna, oznacza to, że wynik poszczególnej próby nie ma wpływu na wyniki pozostałych prób.
  • Prawdopodobieństwo sukcesu i porażki jest stałe dla wszystkich prób.

Definicja rozkładu dwumianowego bazuje na eksperymencie wykonywanym według tak zwanego schematu Bernoulliego. Eksperyment ten przebiega w następujący sposób:

Należy przeprowadzić doświadczenie, którego wynikiem może być jedno z następujących zdarzeń, zdarzenie A z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne B, którego prawdopodobieństwo wystąpienia wynosi q = 1-p. Jedno ze zdarzeń określane jest jako „sukces” a drugie jako „porażka”. Doświadczenie to należy powtórzyć n-krotnie. Każde z doświadczeń musi być niezależne, czyli prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje niezmienne. Liczba doświadczeń które zakończyły sukcesami można wyrazić zmienną losową X należącą do zbioru liczb całkowitych nieujemnych z granicą równą n (liczba prób) (J. Jóźwiak, J. Podgórski 2012, s. 128-129).

Przykład eksperymentu przeprowadzonego według schematu Bernulliego: Wykonujemy 10 niezależnych doświadczeń polegających na rzucie monetą. W każdym rzucie prawdopodobieństwo że wypadnie reszka wynosi 50% czyli p =0,5. Można przyjąć, że doświadczenie którego wynikiem jest reszka będzie sukcesem a jeżeli wypadnie orzeł to wynikiem będzie porażka. Reszka może wypaść k = 0, 1, 2, …, 10 razy.

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej dwumianowej

Zdarzenie X = k ma miejsce, gdy po przeprowadzonych n niezależnych prób, zaobserwujemy dowolny ciąg zdarzeń, w którym sukces wystąpił k razy a porażka n-k razy. Prawdopodobieństwo otrzymania takiego ciągu jest dokładnie takie samo jak otrzymanie dowolnego innego ciągu zdarzeń i wynosi:

Aby obliczyć liczbę możliwych n-elementowych ciągów zdarzeń, w których zdarzenie nazywane sukcesem wystąpi dokładnie k razy, należy obliczyć kombinację z n elementów po k. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia X = k będzie sumą prawdopodobieńswt wystąpienia poszczególnych kombinacji:

Wzór prawdziwy dla k = 0, 1, 2, …, n (J. Jóźwiak, J. Podgórski 2012, s. 128-129).

Charakterystyki rozkładu dwumianowego

Aby wyznaczyć wartość oczekiwną oraz wariancję zmiennej, która podlega rozkładowi dwumianowemu należy wykorzystać fakt, że zmienna losowa X ~ B(n,p) może zostać przedstawiona jako suma n niezależnych zmiennych losowych podlegających rozkładowu zero-jedynkowemy z paremetrem p:

gdzie X ~ rozkład zero-jedynkowy z parametrem p,(i = 1,...,n).

Następnie wtkorzystującc własności wartości oczekiwanej oraz wariancji, można otrzymać następujące wzory:

oraz

Zatem charekterystyki rozkładu dwumianowego prezentują się następująco:

  • wartośc oczekiwana:
  • wariancja:
  • odchylenie standardowe:

(S. Denkowska, M. Papież 2011, s. 43-44)

Rozkład prawdopodobieństwa częstości względnej pojawiania się sukcesu

Mając zmienną losową podlegającą rozkładowi dwumianowemu o parametrach n oraz p, można zdefiniować częstość względną sukcesów jako zmienną losową:

Zmienna ta może przyjmować wartości należące do zbioru:

Zachodzi zatem równość:

Gdzie:

Równość ta oznacza, że zmienna W podlega rozkładowy dwumianowemu oraz przymuje takie same wartości co zmienna losowa X. Wykorzystując własności wynikające z definicji wartości oczekiwane oraz definicji wariancji otrzymuje się:

oraz

Z ostatniego wzoru wynika, iż w n doświadczeniach przeprowadzonych według schematu Bernulliego, wartość oczekiwna częstości sukcesów jest taka sama co prowdopodobieństwo wystąpienia sukcesu w pojedynczym doświadczniu (J. Jóźwiak, J. Podgórski 2012, s. 132-133).

Bibliografia

  • Denkowska S., Papież M. (2011), Rachunak prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych, Wydawnictwo C.H. BECK, Warszawa s. 43-44
  • Gębura A. (2004), Matematyka, fizyka i astronomia, WSiP, Warszawa, s, 101
  • Gruszczyński M. (red.) (2012), Mikroekonometria. Modele i metody analizy danych indywidualnych, Wolters Kluwer Polska, Warszawa, s. 65
  • Jóżwiak J., Podgórski J. (2012), Statystyka od podstaw, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, s. 128-133
  • Ostasiewicz W. (2012), Myślenie statystyczne, Wolters Kluwer Polska, Warszawa
  • Woźniak M. (2002), Statystyka ogólna, Wydawnictwo AE, Kraków

Autor: Mateusz Kaczor