Błąd względny

Wersja z dnia 07:28, 9 sty 2019 autorstwa Sw (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Błąd względny
Polecane artykuły


Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wyniku pomiaru (L. Czopek 1994, s. 172). Jest on wielkością mianowaną.

\(\delta_{x} = \frac{ \Delta x }{ x_0 } = \frac{ x-x_0 }{ x_0 } \)

gdzie:

x0 – wartość mierzona,
Δxbłąd bezwzględny.

Błąd względny najczęściej jednak wyrażony jest w procentach, wtedy nazywany jest błędem procentowym (H. Szydłowski 1973, s. 41).

\( ð = \frac {∆x*100 \%}{x} \)

gdzie:

ð - błąd procentowy
Δx- błąd bezwzględny
x0- wynik pomiaru.

Wyznaczona wartość błędu procentowego jest sama w sobie nie wartościowa, dlatego aby uzyskać pełną informację o wartości dokonanego pomiaru podaje się łącznie: wynik pomiaru i błąd procentowy (H. Szydłowski 1973, s. 41).

Błąd względny w matematyce

"Niech a będzie przybliżeniem liczby x.(...) Stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej liczby x nazywamy błędem względnym:

\( ð=\frac{|x-a|}{|x|} \)

Błąd względny często wyrażany jest w procentach" (W. Babiański 2009, s. 78).

Przykład 1.

Państwo Kowalscy zaplanowali remont mieszkania, na który przeznaczyć chcieli 10 000 zł, z kolei na zakup nowego telewizora zamierzali wydać 1100 zł. W rzeczywistości jednak remont mieszkania wyniósł 10300 zł, a nowy telewizor kosztował 1400 zł. W obu wypadkach, pomyli się w szacowaniu kosztów o 300 zł (błąd bezwzględny). Podaj w procentach błąd względny, popełniony przy estymacji wydatków.

Rozwiązanie:

Remont mieszkania

x- 10300 zł rzeczywista wartość

Δx= 300 zł błąd bezwzględny

\( ð_{x} = \frac{300*100\%}{10300} = 2,91 \% \)

Nowy telewizor

x- 10300 zł rzeczywista wartość

Δx= 300 zł błąd bezwzględny

\( ð_{x} = \frac{300*100\%}{1400} =21,43 \% \)

Błąd względny w ekonomii

W celu wstępnej analizy odchyleń kosztów rzeczywistych w stosunku do przyjętej bazy odniesienia, jako jednego z elementów analizy ekonomiczno- finansowej firmy, wykorzystuje się odchylenia. Dzielą się one na odchylenia bezwzględne i względne.

Odchylenie względne (ΔKw) można wyznaczyć za pomocą wzoru:

\( ΔK_w= K_1- K_o* \frac{P_1}{P_o} \)

gdzie:

ΔKw– odchylenie względne,
K1 - koszty okresu badanego,
K0 - koszty okresu bazowego,
P1 - przychody okresu badanego,
P0 - przychody okresu bazowego.

Względne odchylenie kosztów daje możliwość oceny wpływu na koszty zmian rozmiarów działalności gospodarczej (produkcji, sprzedaży, przychodów). Może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne. Dodatni wynik informuje o względnym wzroście kosztów, ujemny natomiast o względnej obniżce kosztów (Z. Leszczyński 2000, s. 238).

Błąd względny w metrologii

Wszystkie przyrządy pomiarowe charakteryzują się ograniczoną dokładnością materiałową, wynikającą z właściwości materiałów wykorzystanych do ich budowy. Dokładność tych przyrządów opisywana jest za pomocą błędu granicznego, który wyznacza największą wartość błędu wskazania, mogącą wystąpić w dowolnym punkcie zakresu pomiarowego przyrządu w przypadku jego poprawnego użytkowania w warunkach odniesienia. Najważniejszymi parametrami dotyczącymi warunków odniesienia są: temperatura, ciśnienie, wilgotność, brak wstrząsów, wibracji i innych zakłóceń (np. elektromagnetycznych) (P. Burnos 2010, s. 4-5).

Błąd pomiaru przyrządem analogowym zależny od jego klasy dokładności (K) oraz zakresu pomiarowego (Z). Względny błąd graniczny można wyznaczyć za pomocą wzoru:

\( \delta_{gr}= \frac {∆X*100 \%}{x} \)

gdzie:

ΔX – wartość bezwzględnego błędu pomiarowego,
x - wynik pomiaru,
ðgr -względny błąd graniczny

Wiedząc, że błąd bezwzględny ΔX opisany jest za pomocą wzoru\[ ∆X= \frac {K*Z}{100} \]

gdzie:

K- klasa narzędzia pomiarowego,
Z- zakres narzędzia pomiarowego,

po podstawieniu otrzymujemy\[ \delta_{gr}= \frac {K*Z*100\%}{x} \]

Mając na uwadze, że wartość bezwzględnego błędu granicznego jest stała, względny błąd graniczny, będący stosunkiem bezwzględnego błędu granicznego do wartości mierzonej x, maleje wraz ze wzrostem tej wartości. Z tejże przyczyny zakres przyrządu musi być dobrany w taki sposób, żeby wychylenie wskazówki znajdowało się w części podziałki powyżej ½ zakresu (P. Burnos 2010, s. 4-5).

Przykład 2.

Woltomierzem o zakresie pomiarowym 150V i klasie dokładności 0,2 zmierzono napięcie na rezystorze, które wyniosło 120V. Obliczyć błąd względny pomiaru.

Rozwiązanie:

Z- 150 V

K- 0,2

X- 120 V

\( \delta_{gr}= \frac {K*Z*100\%}{x} \)

\( ∆P =100\%* \frac{0,2*150\%}{120} = 25% \)

Zatem błąd względny pomiaru wynosi 25%.

Błąd względny w geodezji

W geodezji wyniki pomiarów, zwane także obserwacjami, lub spostrzeżeniami (oznaczane L1, L2,...Ln) zawsze obarczone są błędami, które wynikać mogą z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmysłów obserwatora czy też zmienności warunków środowiskowych i atmosferycznych w czasie dokonywania pomiaru. Z tego też powody, wielkości tych pomiarów są jedynie wartościami przybliżonymi do wartości prawdziwych wielkości mierzonych (nieznanych). Ze względu na źródła występowania rozróżnia się trzy grupy błędów:

  • błędy grube,
  • błędy systematyczne,
  • błędy losowe.

Inną typologią błędów jest:

  • błąd prawdziwy \epsilon, czyli różnica wartości zmierzonej Lo i wartości prawdziwej spostrzeżenia X

ɛ= Lo-X

  • błąd pozorny spostrzeżenia "-v” to różnica wartości zmierzonej i wartości wyrównanej spostrzeżenia Lw
  • v = Lw – Lo

Z kolei błędy charakteryzujące dokładność obserwacji to:

  • błąd absolutny ma przypadający na całą nieznaną wielkość,
  • błąd względny mw przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek błędu absolutnego do mierzonej wielkości d. Błąd ten wyrażony jest za pomocą wzoru:
\( m_w= \frac {m_a}{d} \)
  • błąd średni pojedynczego spostrzeżenia m, obliczony na podstawie błędów prawdziwych
\( m= \sqrt{\frac{\epsilon \epsilon}{n}} \)

gdzie "n” - liczba błędów prawdziwych = liczba spostrzeżeń. Niemniej jednak, ten wzór jest rzadko stosowany, ponieważ rzadko kiedy istnieje możliwość określenia błędów prawdziwych. W związku z tym, średni błąd spostrzeżenia obliczany jest na podstawie błędów pozornych

\( m= \sqrt{\frac{v*v}{n-1}} \)
  • błąd graniczny g- wyznacza maksymalną wartość błędu dopuszczalnego dla danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego, czyli g = 3 m

W praktyce przyjmuje się jednak, że g znajduje się w przedziale: 2 m ≤ g ≤ 3 m (L. Wiatr 2007, s. 7-9).

Przykład 3.

Zmierzono długość L=300 m ze średnim błędem m = ±3 cm. Oblicz błąd względny tej długości (L. Wiatr 2007, s. 11).

\( m_v= \frac{m}{L} \)

\( m_v= \frac{± 3cm}{300m}=\frac {± 3cm}{30000cm}=± \frac {1}{10000}=± 0,0001 \)

Różnica między błędem względnym a błędem bezwzględnym

Podstawowym czynnikiem różnicującym błąd względny od błędu bezwzględnego jest wartościowość uzyskanego wyniku. Błąd względny w przeciwieństwie do błędu bezwzględnego pozwala na zinterpretowanie badanego zjawiska, określa jego jakość (Fiałkowska M. 2009, s. 338-339).

Bibliografia

Autor: Katarzyna Kolano