Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy – rozkład prawdopodobieństwa sformułowany przez szwajcarskiego matematyka Johanna’a Bernulliego (1654-1705). Zmianna losowa ma rozkład dwumianowy, gdy zostaną spełnione następujące warunki:

• Liczba prób jest ustalona – we wzorach najczęściej określana jako „n”.
• Wynikiem każdej próby mogą być jedynie stany: sukces i porażka.
• Każda z prób jest niezależna, oznacza to, że wynik poszczególnej próby nie ma wpływu na wyniki pozostałych prób.
• Prawdopodobieństwo sukcesu i porażki jest stałe dla wszystkich prób.

Definicja rozkładu dwumianowego bazuje na eksperymencie wykonywanym według tak zwanego schematu Bernoulliego. Eksperyment ten przebiega w następujący sposób:

Należy przeprowadzić doświadczenie, którego wynikiem może być jedno z następujących zdarzeń, zdarzenie A z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne B, którego prawdopodobieństwo wystąpienia wynosi q = 1-p. Jedno ze zdarzeń określane jest jako „sukces” a drugie jako „porażka”. Doświadczenie to należy powtórzyć n-krotnie. Każde z doświadczeń musi być niezależne, czyli prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje niezmienne. Liczba doświadczeń które zakończyły sukcesami można wyrazić zmienną losową X należącą do zbioru liczb całkowitych nieujemnych z granicą równą n (liczba prób) (J. Jóźwiak, J. Podgórski 2012, s. 128-129).

Przykład eksperymentu przeprowadzonego według schematu Bernulliego: Wykonujemy 10 niezależnych doświadczeń polegających na rzucie monetą. W każdym rzucie prawdopodobieństwo że wypadnie reszka wynosi 50% czyli p =0,5. Można przyjąć, że doświadczenie którego wynikiem jest reszka będzie sukcesem a jeżeli wypadnie orzeł to wynikiem będzie porażka. Reszka może wypaść k = 0, 1, 2, …, 10 razy.

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej dwumianowej

Zdarzenie X = k ma miejsce, gdy po przeprowadzonych n niezależnych prób, zaobserwujemy dowolny ciąg zdarzeń, w którym sukces wystąpił k razy a porażka n-k razy. Prawdopodobieństwo otrzymania takiego ciągu jest dokładnie takie samo jak otrzymanie dowolnego innego ciągu zdarzeń i wynosi:

$p^{k}(1-p)^{n-k}$

Aby obliczyć liczbę możliwych n-elementowych ciągów zdarzeń, w których zdarzenie nazywane sukcesem wystąpi dokładnie k razy, należy obliczyć kombinację z n elementów po k. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia X = k będzie sumą prawdopodobieńswt wystąpienia poszczególnych kombinacji:

$P\left(X=k\right)={\binom {n}{k}}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}$

Wzór prawdziwy dla k = 0, 1, 2, …, n (J. Jóźwiak, J. Podgórski 2012, s. 128-129).

Charakterystyki rozkładu dwumianowego

Aby wyznaczyć wartość oczekiwną oraz wariancję zmiennej, która podlega rozkładowi dwumianowemu należy wykorzystać fakt, że zmienna losowa X ~ B(n,p) może zostać przedstawiona jako suma n niezależnych zmiennych losowych podlegających rozkładowu zero-jedynkowemy z paremetrem p:

$X:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ gdzie X ~ rozkład zero-jedynkowy z parametrem p,(i = 1,...,n).

Następnie wtkorzystującc własności wartości oczekiwanej oraz wariancji, można otrzymać następujące wzory:

$E(X)=E\left(\sum _{i=1}^{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}(X_{i})-\sum _{i=1}^{n}p=np$

oraz

$D^{2}(X)=D^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}D^{2}(X_{i})=npq$

Zatem charekterystyki rozkładu dwumianowego prezentują się następująco:

• wartośc oczekiwana:

$E(X)=np$

• wariancja:

$D^{2}=npq$

• odchylenie standardowe:

$D(X)={\sqrt {npq}}$

(S. Denkowska, M. Papież 2011, s. 43-44)

Rozkład prawdopodobieństwa częstości względnej pojawiania się sukcesu

Mając zmienną losową podlegającą rozkładowi dwumianowemu o parametrach n oraz p, można zdefiniować częstość względną sukcesów jako zmienną losową:

$W={\frac {X}{n}}$

Zmienna ta może przyjmować wartości należące do zbioru:

$W=\left\{0,{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}},...,1\right\}$

Zachodzi zatem równość:

$P\left(W={\frac {k}{n}}\right)=P\left({\frac {X}{n}}={\frac {k}{n}}\right)=P\left(X=k\right)$

Gdzie:

$\left(k=0,1,...,n\right)$

Równość ta oznacza, że zmienna W podlega rozkładowy dwumianowemu oraz przymuje takie same wartości co zmienna losowa X. Wykorzystując własności wynikające z definicji wartości oczekiwane oraz definicji wariancji otrzymuje się:

$D^{2}\left(W\right)=D^{2}\left({\frac {X}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}D^{2}\left(X\right)={\frac {1}{n^{2}}}np\left(1-p\right)={\frac {p\left(1-p\right)}{n}}$

oraz

$E\left(W\right)=E\left({\frac {X}{n}}\right)={\frac {1}{n}}E\left(X\right)={\frac {1}{n}}np=p$

Z ostatniego wzoru wynika, iż w n doświadczeniach przeprowadzonych według schematu Bernulliego, wartość oczekiwna częstości sukcesów jest taka sama co prowdopodobieństwo wystąpienia sukcesu w pojedynczym doświadczniu (J. Jóźwiak, J. Podgórski 2012, s. 132-133).

Bibliografia

• Denkowska S., Papież M. (2011), Rachunak prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych, Wydawnictwo C.H. BECK, Warszawa s. 43-44
• Gębura A. (2004), Matematyka, fizyka i astronomia, WSiP, Warszawa, s, 101
• Gruszczyński M. (red.) (2012), Mikroekonometria. Modele i metody analizy danych indywidualnych, Wolters Kluwer Polska, Warszawa, s. 65
• Jóżwiak J., Podgórski J. (2012), Statystyka od podstaw, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, s. 128-133
• Ostasiewicz W. (2012), Myślenie statystyczne, Wolters Kluwer Polska, Warszawa
• Woźniak M. (2002), Statystyka ogólna, Wydawnictwo AE, Kraków

Autor: Mateusz Kaczor