Metody numeryczne

Metody numeryczne, znane również jako metody obliczeniowe, to sposób rozwiązywania problemów z obszaru matematyki przy użyciu operacji na liczbach. Wiedza i znajomość metod numerycznych ułatwiają odpowiednią obsługę programów służących do przetwarzania różnego rodzaju obliczeń (takich jak chociażby Matlab), zwiększają świadomość dotyczącą niedoskonałości sprzętów i sposobu w jaki przetwarzają dane, a także stanowią solidną podstawę do indywidualnego rozwiązywania złożonych problemów.

Z pojęciem metod numerycznych wiążą się podane terminy (B. Pańczyk i in. 2012):

• zadanie numeryczne - definiuje się jako "jasny i jednoznaczny opis powiązania funkcjonalnego między danymi wejściowymi (zmienne niezależne) i danymi wyjściowymi (szukanymi wynikami)",
• operacje – to "działania arytmetyczne i logiczne",
• algorytm – w kontekście metod obliczeniowych to ciąg poprawnie zdefiniowanych operacji, które modyfikują akceptowalne dane wejściowe, zwracając dane wyjściowe.

Istnieje wiele rodzajów algorytmów, które mogą zostać wykorzystane do rozwiązania określonego zadania numerycznego. W zależności od użytego algorytmu, otrzymane wyniki mogą się znacząco od siebie różnic ze względu na pojawiające się błędy numeryczne.

Źródła błędów numerycznych

Istnieje wiele źródeł błędów numerycznych, wśród których można wyróżnić (B. Pańczyk i in. 2012):

• błędy użytkownika
• błędy danych wejściowych – pojawiają się w sytuacjach, gdy dane wejściowe wywodzą się przykładowo z poprzednich obliczeń, bądź takich związanych z pomiarami fizycznymi, które obciążone są błędami
• błędy obcięcia (lub dyskretyzacji) – w momencie obliczeń, gdy dane dochodzą do wartości granicznej (na przykład liczba bitów, miejsc po przecinku) dochodzi do obcięcia wyniku
• błędy pojawiające się w trakcie obliczeń
• błędy związane z zastosowaniem uproszczonych modeli matematycznych

Błąd obliczeniowy jest sumą wszystkich błędów, które jest się w stanie wyodrębnić.

Uwarunkowanie zadania numerycznego

Korzystając z metod numerycznych należy mieć na uwadze jakość zastosowanego sposobu i ocenić wpływ anomalii na otrzymany wynik. Ważnym aspektem jest wówczas tak zwane uwarunkowanie zadania numerycznego (B. Pańczyk i in. 2012).

"Zadanie jest źle uwarunkowane, jeśli małe (względne) zmiany w danych początkowych wywołują duże (względne) zmiany wyników. Zadanie źle uwarunkowane obarczone jest dużymi błędami wyników niezależnie od obranej metody rozwiązywania (B. Pańczyk i in. 2012)."

Cyfry istotne i znaczące w metodach numerycznych

Cyfry istotne to takie cyfry znajdujące się na początku danej liczby (z wyłączeniem zer), które wspomagają wytyczanie pozycji kropki.

Cyfry ułamkowe to cyfry występujące po kropce (części dziesiętne liczby). Do poprawnych cyfr ułamkowych zalicza się te kończące się na pozycji p.

Cyfry znaczące to podzbiór cyfr istotnych, które zawierają się w poprawnych cyfrach ułamkowych (B. Pańczyk i in. 2012).

Błędy względne i bezwzględne w metodach numerycznych

Błąd bezwzględny jest to, dla pewnej wartości x reprezentowanej jako x’, różnica x’ oraz x.

Błąd względny, wyrażany jest najczęściej w procentach i jest to iloczyn różnicy: x’ – x oraz x pomnożony przez 100.

Błędem granicznym, inaczej również maksymalnym błędem bezwzględnym, zwie się wartość epsilon, która jest równa maksymalnej wartości bezwzględnej różnicy x – x’ (B. Pańczyk i in. 2012).

Przenoszenie się błędów w metodach numerycznych

Do podstawowych operacji arytmetycznych, które stosowane są przez komputery, bądź inne urządzenie cyfrowe zalicza się: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Stosując je, maszyna generuje również błędy, które są konsekwencją niedoskonałości czynników oraz zaokrągleń. Oznacza to, że wykonując szereg obliczeń, które potrzebne są do otrzymania ostatecznego wyniku, istnieje duże prawdopodobieństwo, że zaokrąglenia lub obcięcia zastosowane w ich trakcie będą przenoszone na kolejne operacje. Ostatecznie każdy kolejny wynik pośredni będzie zawierał w sobie błąd poprzedników (B. Pańczyk i in. 2012).

Wybrane metody numeryczne

Poniżej przedstawiono wybrane metody numeryczne oraz ich podrodzaje (B. Pańczyk i in. 2012):

• Interpolacja i aproksymacja
  • Interpolacja wielomianowa
  • Interpolacja trygonometryczna
  • Funkcje sklejane
  • Wielomiany ortogonalne

• Metody rozwiązywania układów równań liniowych
  • Eliminacja Gaussa
  • Metoda nadrelaksacji (SOR)
  • Metoda Jacobiego
  • Metoda Gaussa-Seidela
  • Rozkład LU
  • Rozkład QR

• Metody rozwiązywania równań i układów nieliniowych
  • Metoda bisekcji
  • Metoda siecznych
  • Metoda Regula Falsi

• Metody związane z całkowaniem numerycznym
  • Kwadratury Newtona-Cotesa
  • Kwadratury Gaussa

• Metody związane z rozwiązywaniem równań i układów różniczkowych
  • Metody wielokrokowe (tak zwane różnicowe)
  • Metoda Geara dla układów sztywnych

Bibliografia

• Bielski, S. (2014), Wstęp do metod numerycznych, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk, s.1-117
• Falniowski A. (2003), Metody numeryczne w taksonomii, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków
• Kincaid D. (red.) (2006), Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa
• Pańczyk B. (red.) (2012), Metody numeryczne w przykładach, wyd. Politechnika Lubelska, Lublin

Autor: Szymon Szostak