Rozkład t-Studenta

Rozkład t-Studenta (nazwa pochodzi od angielskiego matematyka i statystyka William Sealy Gosseta, który pracował pod pseudonimem Student) jest to rozkład statystyczny, który jest używany do oceny, czy średnia danej grupy różni się od innych grup. Jest to szczególnie przydatne, gdy nie mamy dużo danych i nie możemy założyć, że rozkład danych jest normalny. Stosowany w statystyce do testowania hipotez dotyczących wartości średniej dla małych prób lub gdy nie wiadomo jaka jest wartość odchylenia standardowego dla badanej populacji.

Rozkład t-studenta

Rozkład t-Studenta jest podobny do rozkładu normalnego, ale ma bardziej "rozstawione" skrzydła, co oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia bardzo odległych wartości jest większe niż w przypadku rozkładu normalnego. Rozkład t- studenta jest rozkładem symetrycznym, jednomodalnym (ma jedną „górkę”). Im mniej obserwacji, tym szerszy rozkład.

Główne cechy rozkładu t-Studenta to

• Symetryczność: rozkład t-Studenta jest symetryczny względem średniej.
• Kształt: rozkład t-Studenta ma kształt podobny do kształtu rozkładu normalnego, ale jest bardziej "rozciągnięty" w kierunku skrajnych wartości.
• Wypukłość: rozkład t-Studenta jest wypukły, co oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia wartości blisko średniej jest większe niż prawdopodobieństwo wystąpienia wartości skrajnych.

Wzór na gęstość prawdopodobieństwa rozkładu t-Studenta

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(x) = \frac{γ(\frac{n+1}{2})}{γ(\frac{n}{2})\sqrt{nπ}}(1+\frac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}}

Gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} - to liczba stopni swobody,

γ - to funkcja gamma,

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} - to wartość, dla której obliczamy prawdopodobieństwo. Liczba stopni swobody n określa kształt rozkładu t-Studenta. Im większa liczba stopni swobody, tym bardziej rozkład t-Studenta przypomina rozkład normalny. Dla dużych wartości ν rozkład t-Studenta jest bardzo zbliżony do rozkładu normalnego.

Rozkład t-Studenta znany również jako rozkład t, jest modelem teoretycznym używanym do aproksymacji momentu pierwszego rzędu populacji o rozkładzie normalnym z małą liczebnością próby i nieznanym odchyleniem standardowym. Jest to rozkład prawdopodobieństwa, który zapewnia wartość dla małej próby populacji, która ma rozkład normalny i ma nieznane odchylenie standardowe. W przeciwieństwie do rozkładu normalnego, rozkład t zależy tylko od stopni swobody (M. Sobczyk 2007, s. 134-136). Rozkład t-Studenta jest używany w statystyce i metrologii. Opierają się one na dwóch podstawowych zasadach

1. zmienne losowe Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X_1,X_2,…X_n} mają taki sam rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m} i wariancji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle σ^2} . Wówczas zmienna Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle t} ma rozkład Studenta o Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v=n-1} stopniach swobody,
2. dwie próby o liczebności Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n_1} oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n_2} , wartościach średnich Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \bar{X_1}} oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \bar{X_2}} i wariancja określona z próby Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s^2_1} oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s^2_2} wylosowane z populacji o jednakowym rozkładzie normalnym, powodują, że zmienna Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle t} będzie miała rozkład Studenta o Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v=n_1+n_2-2} .

Rozkład ten jest używany w testach parametrycznych, estymacji przedziałowej, testach średniej i wariancji oraz testach istotności, gdy wielkość próby jest mała, tj. gdy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n\leqslant30} . W metrologii rozkładu Studenta do oszacowania stosuje się odchylenie standardowe. Dla dużych próbek, gdzieParser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n\geqslant30} rozkład t-Studenta jest taki sam jak rozkład normalny, a dla mniejszych próbek estymator odchylenia standardowego należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu, w którym liczba stopni swobody wynosi Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v=n-1} , a poziomem istotności jest wartość Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle α} (M. Sobczyk 2007, s. 134-136).

Aby użyć rozkładu t-Studenta, potrzebujemy

• Liczby próbek (Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} ) czyli grupa osób, na podstawie której chcemy wyciągnąć wnioski na temat całej populacji.
• Średnią dla naszej grupy (μ)
• Odchylenie standardowe dla naszej grupy (Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s} ) obliczane jako pierwiastek z sumy kwadratów odchyleń od średniej próby podzielonej przez liczbę elementów próby (Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n-1} ).
• Średnią dla porównywanej grupy (μ0) czyli wartość, którą chcemy zweryfikować przy pomocy testu t-studenta.
• Liczbę próbek w porównywanej grupie (Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n0} )
• Wartość średnia próby (Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x̄} ) - obliczana jako suma wartości wszystkich elementów próby podzielona przez jej liczbę.

Aby obliczyć czy nasza średnia różni się od średniej porównywanej grupy, obliczamy wartość t za pomocą następującego wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle t=\frac{μ-μ0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}}

Gdy mamy wartość t, możemy użyć tabeli rozkładu t-Studenta lub kalkulatora online, aby obliczyć Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P} -wartość. Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P} -wartość to prawdopodobieństwo, że nasza średnia jest taka sama, jak średnia porównywanej grupy przy założeniu, że nasza hipoteza jest prawdziwa. Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P} -wartość jest mniejsza niż poziom istotności (zazwyczaj 0,05), możemy odrzucić naszą hipotezę i stwierdzić, że nasza średnia różni się od średniej porównywanej grupy (A. Gardoń 2011, s.17-30).

Rozkład t-Studenta jest używany głównie do testowania hipotez statystycznych. Może być również używany do oszacowania odchyleń standardowych dla małych próbek oraz do porównywania średnich w przypadku, gdy nie wiemy jaki jest rozkład populacji. W takich sytuacjach używa się testu t-Studenta, który pozwala nam ocenić, czy różnice między grupami są istotne statystycznie czy też są to tylko odchylenia losowe.

Przykład zastosowania

Badamy skuteczność nowego leku na grupie pacjentów i chcemy porównać średnią skuteczność leku w grupie z lekiem z średnią skutecznością leku w grupie z placebo. Możemy użyć testu t-Studenta, aby ocenić, czy różnica między średnimi jest istotna statystycznie (Koronacki J. , Mielniczuk J., 2001, s. 319-372).

Bibliografia

• Biecek P. (2011), Przewodnik po pakiecie R, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław
• Bobowski Z. (2004), Wybrane metody statystyki opisowej w wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo WWSZiP, Wałbrzych
• Gardoń A. (2011), Rozkład statystyki T-Studenta przy danej wariancji z próby o rozkładzie normalnym, "Didactics of Mathematics", Nr 8
• Koronacki J., Mielniczuk J.,(2001) Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa
• Lipińska K. (2010), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechniki Warszawskiej OKNO, Warszawa
• * Magiera R. (2018), Modele i metody statystyki matematycznej, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław
• Malska W. (2015), Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym, „Edukacja – Technika – Informatyka” nr 3.
• Sobczyk M. (2007), Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

Autor: Angelika Kowalik