Współczynnik asymetrii

Współczynnik asymetrii (współczynnik skośności) - jedna z miar asymetrii określająca kierunek i siłę asymetrii rozkładu wyrażona w postaci wzoru: Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A_s=\frac{\bar{x}-M_o}{s}} gdzie Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \bar{x} } to średnia arytmetyczna dla grupy, Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle M_o } to moda (dominanta), s to odchylenie standardowe . Współczynnik skośności jest narzędziem często wykorzystywanym w analizie statystycznej pozwalającym na interpretację rozkładu danych i informującym o równomierności rozłożenia cech w badanym zbiorze .

Istnieje też możliwość wyznaczenia współczynnika asymetrii wykorzystując kwartyle (Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Q_1, Q_2,Q_3 } ) oraz odchylenie ćwiartkowe (Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle Q } ). Wykorzystywany jest wtedy następujący wzór: $A_{s}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2M_{e}}{2Q}}$ a do prezentacji wartości kwantyli używany jest wykres pudełkowy.

Kierunki asymetrii

W zależności od wartości współczynnika asymetrii, występującego jako miara pozycyjna, wyróżnia się następujące kierunki asymetrii :

• rozkład asymetryczny lewostronnie (skośność lewostronna, asymetria ujemna) wstępuje, gdy $A_{s}<0$ a lewy ogon rozkładu jest dłuższy niż prawy. W rozkładzie większą część stanowią jednostki o wartości cechy poniżej wyznaczonej średniej. Dla rozkładu o asymetrii lewostronnej średnia arytmetyczna ma niższą wartość niż mediana, której wartość jest niższa niż wartość mody: ${\bar {x}}<M_{e}<M_{o}$
• rozkład asymetryczny prawostronnie (skośność prawostronna, asymetria dodatnia) występuje, gdy $A_{s}>0$ a prawy ogon rozkładu jest dłuższy niż lewy. W rozkładzie większą część stanowią jednostki o wartości cechy poniżej wyznaczonej średniej. Dla rozkładu o asymetrii prawostronnej średnia arytmetyczna ma wyższą wartość niż mediana, której wartość jest wyższa niż wartość mody: ${\bar {x}}>M_{e}>M_{o}$
• rozkład symetryczny - występuje dla rozkładu, w którym wartość średniej arytmetycznej, mediany i mody są sobie równe: ${\bar {x}}=M_{e}=M_{o}$

Klasyfikacja siły asymetrii

Współczynnik asymetrii stosowany w porównaniach wskazuje kierunek asymetrii. Im większa wartość, tym silniejsza asymetria. Asymetrie rozkładu klasyfikuje się najczęściej do jednej z poniższych reguł :

• rozkład symetryczny - dla $A_{s}=0$; liczebności rozmieszczone są jednakowo dla wartości cech w tej samej odległości od środka asymetrii (średniej arytmetycznej),
• słaba asymetria - dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 0 < A_s < 0, 4 } ,
• umiarkowana asymetria - dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 0,4 < A_s < 0,7 } ,
• silna asymetria - dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A_s>7 } .

Podział miar asymetrii

Dla miar asymetrii wyróżnia się następujące miary :

• bezwzględne - określające kierunek asymetrii.

1. wskaźnik asymetrii (wskaźnik skośności) - w odróżnieniu od współczynnika asymetrii (współczynnika skośności) bada jedynie wartość różnicy między średnią arytmetyczną a modalną i może być wyrażony wzorem: Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle {\bar{x}-M_o}} lub wzorem: Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (Q_3-Q-2)-(Q_2-Q_1)=Q_3+Q_1-2M_e } Dla wskaźnika asymetrii, analogicznie jak dla współczynnika asymetrii, można wyróżnić trzy rodzaje rozkładu: symetryczny (dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \bar{x}=M_e=M_o } ), asymetryczny lewostronnie (dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \bar{x}<M_e<M_o } ) oraz asymetryczny prawostronnie (dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \bar{x}>M_e>M_o } ), jednak nie może wyznaczyć on siły asymetrii, ponieważ cechy wyrażone są w jednostkach bezwzględnych,
2. kwartylowy wskaźnik asymetrii,
3. trzeci moment centralny (moment centralny trzeciego rzędu) - wynik uzyskiwany przy wykorzystaniu szeregu prostego (wyliczającego), punktowego (jednostopniowego) lub szeregu przedziałowego w zależności od rodzaju dostępnych danych. Informuje o kierunku asymetrii i pozwala wykorzystać zarówno dane niezgrupowane, jak i dane zgrupowane.

• względne - określające kierunek oraz siłę asymetrii. Wielkość współczynników determinuje siłę asymetrii.

1. klasyczno-pozycyjny współczynnik skośności (asymetrii),
2. kwartylowy współczynnik skośności (asymetrii),
3. absolutna miara asymetrii standaryzowany (trzeci moment centralny standaryzowany) - wynik miary może być uzyskany za pomocą obliczenia szeregu szczegółowego, rozdzielczego punktowego (jednostajnego) lub szeregu rozdzielczego przedziałowego.

Bibliografia

• Bednarz-Okrzyńska K., (2016), Analiza zależności między wartością współczynnika asymetrii a wartością semiodchylenia standardowego stóp zwrotu wybranych indeksów giełdowych i spółek, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Uniwersytetu Szczecińskiego, nr 45, s. 181
• Homa M., Mościbrodzka M. (2018), Wykorzystanie narzędzi wielowymiarowej analizy porównawczej w badaniu jednorodności funduszy inwestycyjnych akcji pod względem ryzyka i efektywności - podejście klasyczne i alternatywne, E-Wydawnictwo. Prawnicza i Ekonomiczna Biblioteka Cyfrowa. Wydział Prawa, Administracji i Ekonomii Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław, s. 62
• Major M., Niezgoda J., (2003), Statystyki, Część I. Statystyka opisowa, Krakowskie Towarzystwo Edukacyjne, Kraków, s. 62-63
• Tarka D., Olszewska A., (2018),Elementy Statystyki, Opis statystyczny, Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, Białystok, s. s. 156 - 163
• Wesołowska-Janczarek M., Kornacki A., (2016), O różnych znakach współczynników asymetrii w rozkładach empirycznych, Economic and Regional Studies, nr 9, s. 64

Autor: Mariola Karasińska