Współczynnik asymetrii

Współczynnik asymetrii (współczynnik skośności) - jedna z miar asymetrii określająca kierunek i siłę asymetrii rozkładu wyrażona w postaci wzoru: $A_{s}={\frac {{\bar {x}}-M_{o}}{s}}$ gdzie ${\bar {x}}$ to średnia arytmetyczna dla grupy, $M_{o}$ to moda (dominanta), s to odchylenie standardowe. Współczynnik skośności jest narzędziem często wykorzystywanym w analizie statystycznej pozwalającym na interpretację rozkładu danych i informującym o równomierności rozłożenia cech w badanym zbiorze.

Istnieje też możliwość wyznaczenia współczynnika asymetrii wykorzystując kwartyle ($Q_{1},Q_{2},Q_{3}$) oraz odchylenie ćwiartkowe ($Q$). Wykorzystywany jest wtedy następujący wzór: $A_{s}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2M_{e}}{2Q}}$ a do prezentacji wartości kwatyli używany jest wykres pudełkowy.

Kierunki asymetrii

W zależności od wartości współczynnika asymetrii, występującego jako miara pozycyjna, wyróżnia się następujące kierunki asymetrii :

• rozkład asymetryczny lewostronnie (skośność lewostronna, asymetria ujemna) wstępuje, gdy $A_{s}<0$ a lewy ogon rozkładu jest dłuższy niż prawy. W rozkładzie większą część stanowią jednostki o wartości cechy poniżej wyznaczonej średniej. Dla rozkładu o asymetrii lewostronnej średnia arytmetyczna ma niższą wartość niż mediana, której wartość jest niższa niż wartość mody: ${\bar {x}}<M_{e}<M_{o}$
• rozkład asymetryczny prawostronnie (skośność prawostronna, asymetria dodatnia) występuje, gdy $A_{s}>0$ a prawy ogon rozkładu jest dłuższy niż lewy. W rozkładzie większą część stanowią jednostki o wartości cechy poniżej wyznaczonej średniej. Dla rozkładu o asymetrii prawostronnej średnia arytmetyczna ma wyższą wartość niż mediana, której wartość jest wyższa niż wartość mody: ${\bar {x}}>M_{e}>M_{o}$
• rozkład symetryczny - występuje dla rozkładu, w którym wartość średniej arytmetycznej, mediany i mody są sobie równe: ${\bar {x}}=M_{e}=M_{o}$

Klasyfikacja siły asymetrii

Współczynnik asymetrii stosowany w porównaniach wskazuje kierunek asymetrii. Im większa wartość, tym silniejsza asymetria. Asymetrie rozkładu klasyfikuje się najczęściej do jednej z poniższych reguł:

• rozkład symetryczny - dla $A_{s}=0$; liczebności rozmieszczone są jednakowo dla wartości cech w tej samej odległości od środka asymetrii (średniej arytmetycznej),
• słaba asymetria - dla $0<A_{s}<0,4$,
• umiarkowana asymetria - dla $0,4<A_{s}<0,7$,
• silna asymetria - dla $A_{s}>7$.

Podział miar asymetrii

Dla miar asymetrii wyróżnia się następujące miary:

• bezwzględne - określające kierunek asymetrii

1. wskaźnik asymetrii

Wskaźnik asymetrii (wskaźnik skośności) w odróżnieniu do współczynnika asymetrii (współczynnika skośności) bada jedynie wartość różnicy między średnią arytmetyczną a modalną i może być wyrażony wzorem: ${{\bar {x}}-M_{o}}$ lub wzorem: $(Q_{3}-Q-2)-(Q_{2}-Q_{1})=Q_{3}+Q_{1}-2M_{e}$ Dla wskaźnika asymetrii, analogicznie jak dla współczynnika asymetrii, można wyróżnić trzy rodzaje rozkładu: symetryczny (dla ${\bar {x}}=M_{e}=M_{o}$), asymetryczny lewostronnie (dla ${\bar {x}}<M_{e}<M_{o}$) oraz asymetryczny prawostronnie (dla ${\bar {x}}>M_{e}>M_{o}$), jednak nie może wyznaczyć on siły asymetrii, ponieważ cechy wyrażone są w jednostkach bezwzględnych.

1. kwartylowy wskaźnik asymetrii
2. trzeci moment centralny (moment centralny trzeciego rzędu) - wynik uzyskiwany przy wykorzystaniu szeregu prostego (wyliczającego), punktowego (jednostopniowego) lub szeregu przedziałowego w zależności od rodzaju dostępnych danych. Informuje o kierunku asymetrii i pozwala wykorzystać zarówno dane niezgrupowane jak i dane zgrupowane.

• względne - określające kierunek oraz siłę asymetrii. Wielkość współczynników determinuje siłę asymetrii.

1. klasyczno-pozycyjny współczynnik skośności (asymetrii)
2. kwartylowy współczynnik skośności (asymetrii)
3. absolutna miara asymetrii standaryzowany (trzeci moment centralny standaryzowany) - wynik miary może być uzyskany za pomocą obliczenia szeregu szczegółowego, rozdzielczego punktowego (jednostajnego) lub szeregu rodzielczego przedziałowego.

Bibliografia

• Major M, Niezgoda J., (2003), Statystyki, Część I. Statystyka opisowa, Krakowskie Towarzystwo Edukacyjne, Kraków, s. 62-63

Autor: Mariola Karasińska