Kombinatoryka: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 27: | Linia 27: | ||
==Wariacje, Permutacje, Kombinacje== | ==Wariacje, Permutacje, Kombinacje== | ||
Według CKE '''wariacje z powtórzeniami''' to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z ''k'' niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa ''n<sup>k</sup>''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>." | Według CKE '''wariacje z powtórzeniami''' to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z ''k'' niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa ''n<sup>k</sup>''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>." W przypadku wariacji z powtórzeniami wybierane elementy mogą się powtarzać, a kolejność wybieranych elementów ma znaczenie<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | ||
Natomiast '''wariacją bez powtórzeń''' jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z ''n'' różnych elementów, składający się z ''k'' różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>: ''n!/(n-k)!'' | |||
Natomiast '''wariacją bez powtórzeń''' jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z ''n'' różnych elementów, składający się z ''k'' różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>: ''n!/(n-k)!''. W przypadku wariacji bez powtórzeń istotna jest kolejność wybieranych elementów oraz to, że elementy nie mogą się powtarzać<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
'''Permutacją''' nazywamy liczbę sposobów, na które ''n(n≥1)'' różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru ''n!''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015), Warszawa </ref>. | '''Permutacją''' nazywamy liczbę sposobów, na które ''n(n≥1)'' różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru ''n!''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015), Warszawa </ref>. | ||
'''Kombinacją''' można nazwać liczbę sposobów, na które spośród ''n'' różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤''k''≤''n'', zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>. | |||
'''Kombinacją''' można nazwać liczbę sposobów, na które spośród ''n'' różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤''k''≤''n'', zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>. W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
==Silnia== | |||
Silnią (''n!'') liczby naturalnej, która jest większa od jeden nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich, które nie są większe od ''n''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
==Historia kombinatoryki== | ==Historia kombinatoryki== | ||
Linia 43: | Linia 49: | ||
* Janiec E. (2006), ''Nowa Encyklopedia Podręczna PWN'', „Wydawnictwo Naukowe PWN”, s.441 | * Janiec E. (2006), ''Nowa Encyklopedia Podręczna PWN'', „Wydawnictwo Naukowe PWN”, s.441 | ||
* Nowoświat K.(2014), [http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf ''Matematyka Europejczyka''],„Helion“ | * Nowoświat K.(2014), [http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf ''Matematyka Europejczyka''],„Helion“ | ||
* Rutkowski J. (2021), [https://mleczko.students.wmi.amu.edu.pl/wp-content/uploads/2013/10/04-RachPrawdopod_14_15-student.pdf ''Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa''] | * Rutkowski J. (2021), [https://mleczko.students.wmi.amu.edu.pl/wp-content/uploads/2013/10/04-RachPrawdopod_14_15-student.pdf ''Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa''] | ||
* [https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf ''Wybrane wzory matematyczne''] (2015), Warszawa | * [https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf ''Wybrane wzory matematyczne''] (2015), Warszawa |
Wersja z 09:17, 19 maj 2021
Dział matematyczny, który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych, które są tworzone w określony sposób, np. zbiór kombinacji, permutacji, wariacji. Zajmuje się zliczaniem sposobów zajścia zdarzenia losowego[1].
Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego
Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi sposobami, między innymi[2]:
- poprzez wypisanie wszystkich możliwości
- przy pomocy tabeli
- za pomocą grafu ( drzewka)
- stosując reguły dodawania i mnożenia
Zasady stosowane w kombinatoryce
Podstawowa zasada kombinatoryki Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać[3].
Reguła dodawania Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie m+n sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów - wykluczają się[4].
Reguła mnożenia Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa m⋅n[5]. W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa kmn[6].
Elementy kombinatoryki
Do elementów kombinatoryki zaliczamy[7]:
- permutacje
- kombinacje
- wariacje bez powtórzeń
- wariacje z powtórzeniami
Wariacje, Permutacje, Kombinacje
Według CKE wariacje z powtórzeniami to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk[8]." W przypadku wariacji z powtórzeniami wybierane elementy mogą się powtarzać, a kolejność wybieranych elementów ma znaczenie[9].
Natomiast wariacją bez powtórzeń jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z n różnych elementów, składający się z k różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa[10]: n!/(n-k)!. W przypadku wariacji bez powtórzeń istotna jest kolejność wybieranych elementów oraz to, że elementy nie mogą się powtarzać[11].
Permutacją nazywamy liczbę sposobów, na które n(n≥1) różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru n![12].
Kombinacją można nazwać liczbę sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤k≤n, zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona[13]. W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia[14].
Silnia
Silnią (n!) liczby naturalnej, która jest większa od jeden nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich, które nie są większe od n[15].
Historia kombinatoryki
Dwa podstawowe zagadnienia kombinatoryki, jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki[16].
Przypisy
- ↑ Janiec E. (2006), Nowa Encyklopedia Podręczna PWN, s.441
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015), Warszawa
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Zakrzewski M. (2018),Markowe Wykłady z Matematyki], s.3
Bibliografia
- Janiec E. (2006), Nowa Encyklopedia Podręczna PWN, „Wydawnictwo Naukowe PWN”, s.441
- Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka,„Helion“
- Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
- Wybrane wzory matematyczne (2015), Warszawa
- Zakrzewski M. (2018),Markowe Wykłady z Matematyki, „GiS”, Wrocław, s.3
Autor: Aleksandra Potejko