Prawdopodobieństwo warunkowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Encyklopedia Zarządzania
m (Infobox update)
 
(LinkTitles.)
Linia 19: Linia 19:
Zdarzenia A oraz B nazywamy wtedy zdarzeniami '''zależnymi'''. (Sobczyk M. 2002, s. 82) <br>  
Zdarzenia A oraz B nazywamy wtedy zdarzeniami '''zależnymi'''. (Sobczyk M. 2002, s. 82) <br>  


Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A przy założeniu, że zaszło zdarzenie B, oznaczane jest symbolem P (A \ B) i wyraża się wzorem:
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A przy założeniu, że zaszło [[zdarzenie]] B, oznaczane jest symbolem P (A \ B) i wyraża się wzorem:


  <center> P (A \ B) = <math>\frac{p \left (A \cap B \right)}{p \left (B \right)}</math></center>
  <center> P (A \ B) = <math>\frac{p \left (A \cap B \right)}{p \left (B \right)}</math></center>
Linia 42: Linia 42:
  <center><math> \left (\frac{1}{6}\right) + \left (\frac{1}{6}\right)= \left (\frac{1}{3}\right)</math></center>
  <center><math> \left (\frac{1}{6}\right) + \left (\frac{1}{6}\right)= \left (\frac{1}{3}\right)</math></center>


Liczba punktów, które musimy uzyskać w drugim rzucie, aby spełnione zostało przyjęte założenie, jest już ściśle uwaunkowana wynikiem<br>
Liczba punktów, które musimy uzyskać w drugim rzucie, aby spełnione zostało przyjęte [[założenie]], jest już ściśle uwaunkowana wynikiem<br>
uzyskanym w pierwszym rzucie (mamy więc do czynienia z prawdopodobieństwiem warunkowym).<br>
uzyskanym w pierwszym rzucie (mamy więc do czynienia z prawdopodobieństwiem warunkowym).<br>
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B przy założeniu, że wystąpiło zdarzenie A, oznaczymy symbolem <math>P\left (B\setminus A\right)</math>.<br>
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B przy założeniu, że wystąpiło zdarzenie A, oznaczymy symbolem <math>P\left (B\setminus A\right)</math>.<br>
Linia 90: Linia 90:
==Bibliografia==
==Bibliografia==
* Durka P. J. (2002) [http://www.fuw.edu.pl/~durka/ksiazki/statystyka/toc.pdf''Wstęp do współczesnej statystyki''], Wydawnictwo Adamantan, Warszawa
* Durka P. J. (2002) [http://www.fuw.edu.pl/~durka/ksiazki/statystyka/toc.pdf''Wstęp do współczesnej statystyki''], Wydawnictwo Adamantan, Warszawa
* Kornacki J. (2006) ''Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych'' (2006), Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa
* Kornacki J. (2006) ''[[Statystyka]] dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych'' (2006), Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa
* Siwek E. (2002) ''Słownik encyklopedyczny'', Cykada, Katowice  
* Siwek E. (2002) ''Słownik encyklopedyczny'', Cykada, Katowice  
* Sobczyk M. (2002) ''Statystyka'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Sobczyk M. (2002) ''Statystyka'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Sobczyk M. (2010) ''Statystyka opisowa'', Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
* Sobczyk M. (2010) ''[[Statystyka opisowa]]'', Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
* Witkowski B. (red.) (2018) ''Statystyka w zarządzaniu.'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Witkowski B. (red.) (2018) ''Statystyka w zarządzaniu.'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
* Zieliński R. (2004) [https://www.impan.pl/~rziel/7ALL.pdf''Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej''], Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa
* Zieliński R. (2004) [https://www.impan.pl/~rziel/7ALL.pdf''Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej''], Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa

Wersja z 04:04, 21 maj 2020

Prawdopodobieństwo warunkowe
Polecane artykuły


Prawdopodobieństwo warunkowe ( względne ) występuje, gdy mamy do czynienia ze zdarzeniem A, którego prawdopodobieństwo zależy od zdarzenia B.
Zdarzenia A oraz B nazywamy wtedy zdarzeniami zależnymi. (Sobczyk M. 2002, s. 82)

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A przy założeniu, że zaszło zdarzenie B, oznaczane jest symbolem P (A \ B) i wyraża się wzorem:

P (A \ B) =

Prawdopodobieństwo warunkowe określa szansę zajęcia jakiegoś zdarzenia, gdy wiadomo, jakie zdarzenia już zaszły. (Siwek E. 2002)

Prawdopodobieństwo P (A\B) jest naogół różne od prawdopodobieństwa (bezwarunkowego lub apriori) zdarzenia A.
W pewnych przypadkach jednak informacja o zajściu zdarzenia B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A, tj.

P (A\B)= P (A)

Otrzymujemy wówczas:

P (A i B) =

Przykłady

Przykład 1

Załóżmy, że pomyślne ukończenie gry (wygrana) uzależnione jest od uzyskania 11 punktów w dwóch kolejnych rzutach
(lub dwoma kostkami jednocześnie). Jakie jest prawdopodobieństwo osiągnięcia takiego wyniku?
W pierwszym rzucie dwa wyniki nie przekreślają szans uzyskania potrzebnej liczby punktów: są to liczby 5 i 6. Prawdopodobieństwo
uzyskania jednej z nich wynosi:

Liczba punktów, które musimy uzyskać w drugim rzucie, aby spełnione zostało przyjęte założenie, jest już ściśle uwaunkowana wynikiem
uzyskanym w pierwszym rzucie (mamy więc do czynienia z prawdopodobieństwiem warunkowym).
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B przy założeniu, że wystąpiło zdarzenie A, oznaczymy symbolem .
Tak więc w przypadku uzyskania w pierwszym rzucie 5 punktów, w drugim jedynie wyrzucenie 6 punktów da nam potrzebną sumę punktów.
I odwrotnie, jeśli w pierwszym rzucie uzyskamy 6 punktów, to w drugim jedynie wyrzucenie 5 punktów odpowiada przyjętemu założeniu.
A zatem prawdopodobieństwo uzyskania 11 punktów w dwóch kolejnych rzutach kostką wynosi:

Przykład 2

Dzieci miały zaopatrzyć łódkę taty w wodę mineralną przed jego wyjazdem z kolegą na ryby. W domu byłby dwie skrzynki: jedna z wodą
mineralną, a druga z lemoniadą. Czteroletni Jacek przyniósł 3 butelki, a młodsza o rok agatka dwie. Wyjmując butelkę, już na jeziorze, tata
zobaczył, że woda zmyła z niej nalepkę. Kolega taty zauważył, że wyjęta butelka wygląda tak samo, jak butelka lemoniady.
Z jaki prawdopodobieństwem panowie napiją się wody mineralnej, jeżeli prawd., że Agatka przyniosła wodę, a nie lemoniadę, wynosi
natomiast w przypadku Jacka prawdopodobieństwo to wynosi

rozwiązanie

Dzieci chciały przynieść wodę, a nie lemoniadę więc każde wzięło wszystkie swoje butelki z jednej skrzynki. Niech A oznacza, że panowie
trafili na wodę. Przyjmiemy hipotezę H, że wyjęta butelka jest jedną z przyniesionych przez Jacka i zastosujemy wzór:

P (A)= P (H)P (A\H) + P (H')P (A\H')

Mamy:

P (A\ H)=() i P (A\ H')=()

Teraz obliczamy:

P (A)=()()+()()=

Wzór Bayesa

Wzór ten wyraża prawdopodobieństwo warunkowe każdego z wzajemnie niezależnych zdarzeń .,
o dodatnich prawdopodobieństwach, których suma jest całą przestrzenią zdarzeń elementarnych względem zdarzenia A o dodatnim prawdopodob.

Wiemy, że

P (\ A) = P ()

Zastępując prawdopodobieństwo P (A) w mianowniku ostatniego ułamka przez:

P (A)= P ()P (A\)+P ()P (A\)+.... +P ()P (A\ )

otrzymujemy:

P (\A)=

zwany wzorem Bayesa. Wzór ten pozwala oliczyć prawdopodobieństwo warunkowe hipotezy , w doświadczeniu, w którym
zaszło zdarzenie A. Analogiczne związki zachodzą również dla pozostałych hipotez .
Można z nich obliczyć prawdopodobieństwa warunkowe przyjętych wcześniej hipotez na podstawie wyniku doświadczenia po jego przeprowadzeniu. (Siwek E. 2002)

Bibliografia

  • Durka P. J. (2002) Wstęp do współczesnej statystyki, Wydawnictwo Adamantan, Warszawa
  • Kornacki J. (2006) Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych (2006), Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa
  • Siwek E. (2002) Słownik encyklopedyczny, Cykada, Katowice
  • Sobczyk M. (2002) Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Sobczyk M. (2010) Statystyka opisowa, Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
  • Witkowski B. (red.) (2018) Statystyka w zarządzaniu., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
  • Zieliński R. (2004) Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa

Autor: Anna Dziadosz, Bernadeta Nowacka