Kombinatoryka

Z Encyklopedia Zarządzania

Dział matematyczny, który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych, które są tworzone w określony sposób, np. zbiór kombinacji, permutacji, wariacji. Zajmuje się zliczaniem sposobów zajścia zdarzenia losowego[1].

Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego

Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi sposobami, między innymi[2]:

  • poprzez wypisanie wszystkich możliwości
  • przy pomocy tabeli
  • za pomocą grafu ( drzewka)
  • stosując reguły dodawania i mnożenia

Zasady stosowane w kombinatoryce

Podstawowa zasada kombinatoryki Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać[3].

Reguła dodawania Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie m+n sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów[4].

Reguła mnożenia Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa m⋅n[5]. W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa kmn[6].

Elementy kombinatoryki

Do elementów kombinatoryki zaliczamy[7]:

  • permutacje
  • kombinacje
  • wariacje bez powtórzeń
  • wariacje z powtórzeniami

Wariacje, Permutacje, Kombinacje

Według CKE wariacje z powtórzeniami to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk[8]." Natomiast wariacją bez powtórzeń jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z n różnych elementów, składający się z k różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa[9]: n!/(n-k)! Permutacją nazywamy liczbę sposobów, na które n(n≥1) różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest ona równa n![10]. Kombinacją można nazwać liczbę sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤kn, zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona[11].

Historia kombinatoryki

Dwa podstawowe zagadnienia kombinatoryki, jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki[12].

Przypisy

  1. Janiec E. (2006), Nowa Encyklopedia Podręczna PWN, s.441
  2. http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf
  3. http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf
  4. http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf
  5. http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf
  6. http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf
  7. Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
  8. Wybrane wzory matematyczne (2015)
  9. Wybrane wzory matematyczne (2015)
  10. Wybrane wzory matematyczne (2015), Warszawa
  11. Wybrane wzory matematyczne (2015)
  12. Zakrzewski M. (2018), ‘’Markowe Wykłady z Matematyki’’], s.3

Bibliografia

Autor: Aleksandra Potejko