Kombinatoryka: Różnice pomiędzy wersjami
(Utworzono nową stronę) |
m (Infobox update) |
||
(Nie pokazano 14 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
== | {{infobox4 | ||
{{ | |list1= | ||
<ul> | |||
<li>[[Procedura głosowania]]</li> | |||
<li>[[Permutacja]]</li> | |||
<li>[[Brzytwa Ockhama]]</li> | |||
<li>[[Koewolucja]]</li> | |||
<li>[[Złoty podział]]</li> | |||
<li>[[Prawa De Morgana]]</li> | |||
<li>[[Indukcja eliminacyjna]]</li> | |||
<li>[[Algorytm genetyczny]]</li> | |||
<li>[[Efekt domina]]</li> | |||
</ul> | |||
}} | |||
'''Dział matematyczny''', który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych, które są tworzone w określony sposób, np. zbiór kombinacji, permutacji, wariacji. Zajmuje się zliczaniem sposobów zajścia zdarzenia losowego<ref>Janiec E. (2006), ''Nowa Encyklopedia Podręczna PWN'', s.441</ref>. | |||
==Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego== | |||
Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi sposobami, między innymi<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>: | |||
* poprzez wypisanie wszystkich możliwości | |||
* przy pomocy tabeli | |||
* za pomocą grafu ( drzewka) | |||
* stosując reguły dodawania i mnożenia | |||
==Zasady stosowane w kombinatoryce == | |||
'''Podstawowa [[zasada]] kombinatoryki''' | |||
Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
'''Reguła dodawania''' | |||
Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie ''m+n'' sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów - wykluczają się<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
<google>link</google> | |||
'''Reguła mnożenia''' | |||
Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa ''m⋅n''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa ''kmn''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
==Elementy kombinatoryki== | |||
Do elementów kombinatoryki zaliczamy<ref>Rutkowski J. (2021), ''Kombinatoryka i [[rachunek]] prawdopodobieństwa''</ref>: | |||
* '''permutacje''' | |||
* '''kombinacje''' | |||
* '''wariacje bez powtórzeń''' | |||
* '''wariacje z powtórzeniami''' | |||
==Wariacje, Permutacje, Kombinacje== | |||
Według CKE '''wariacje z powtórzeniami''' to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z ''k'' niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa ''n<sup>k</sup>''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>." W przypadku wariacji z powtórzeniami wybierane elementy mogą się powtarzać, a kolejność wybieranych elementów ma znaczenie<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
Natomiast '''wariacją bez powtórzeń''' jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z ''n'' różnych elementów, składający się z ''k'' różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>: ''n!/(n-k)!''. W przypadku wariacji bez powtórzeń istotna jest kolejność wybieranych elementów oraz to, że elementy nie mogą się powtarzać<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
'''Permutacją''' nazywamy liczbę sposobów, na które ''n(n≥1)'' różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru ''n!''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015), Warszawa </ref>. | |||
'''Kombinacją''' można nazwać liczbę sposobów, na które spośród ''n'' różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤''k''≤''n'', zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>. W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
==Silnia liczby naturalnej== | |||
Silnią (''n!'') liczby naturalnej, która jest większa od jeden nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich, które nie są większe od ''n''<ref>Nowoświat K.(2014), ''Matematyka Europejczyka''</ref>. | |||
==Historia kombinatoryki== | |||
Dwa podstawowe zagadnienia '''kombinatoryki''', jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki<ref>Zakrzewski M. (2018),''Markowe Wykłady z Matematyki''], s.3</ref>. | |||
==Przypisy== | |||
: | |||
<references /> | |||
==Bibliografia== | |||
: | |||
* Janiec E. (2006), ''Nowa Encyklopedia Podręczna PWN'', „Wydawnictwo Naukowe PWN”, s.441 | |||
* Nowoświat K.(2014), [http://pdf.helion.pl/mepod3/mepod3.pdf ''Matematyka Europejczyka''],„Helion“ | |||
* Rutkowski J. (2021), [https://mleczko.students.wmi.amu.edu.pl/wp-content/uploads/2013/10/04-RachPrawdopod_14_15-student.pdf ''Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa''] | |||
* [https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf ''Wybrane wzory matematyczne''] (2015), Warszawa | |||
* Zakrzewski M. (2018),''Markowe Wykłady z Matematyki'', „GiS”, Wrocław, s.3 | |||
{{a|Aleksandra Potejko}} | |||
[[Kategoria:Statystyka i Ekonometria]] |
Wersja z 07:44, 20 sty 2023
Kombinatoryka |
---|
Polecane artykuły |
Dział matematyczny, który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych, które są tworzone w określony sposób, np. zbiór kombinacji, permutacji, wariacji. Zajmuje się zliczaniem sposobów zajścia zdarzenia losowego[1].
Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego
Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi sposobami, między innymi[2]:
- poprzez wypisanie wszystkich możliwości
- przy pomocy tabeli
- za pomocą grafu ( drzewka)
- stosując reguły dodawania i mnożenia
Zasady stosowane w kombinatoryce
Podstawowa zasada kombinatoryki Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać[3].
Reguła dodawania Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie m+n sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów - wykluczają się[4].
Reguła mnożenia Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa m⋅n[5]. W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa kmn[6].
Elementy kombinatoryki
Do elementów kombinatoryki zaliczamy[7]:
- permutacje
- kombinacje
- wariacje bez powtórzeń
- wariacje z powtórzeniami
Wariacje, Permutacje, Kombinacje
Według CKE wariacje z powtórzeniami to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk[8]." W przypadku wariacji z powtórzeniami wybierane elementy mogą się powtarzać, a kolejność wybieranych elementów ma znaczenie[9].
Natomiast wariacją bez powtórzeń jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z n różnych elementów, składający się z k różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa[10]: n!/(n-k)!. W przypadku wariacji bez powtórzeń istotna jest kolejność wybieranych elementów oraz to, że elementy nie mogą się powtarzać[11].
Permutacją nazywamy liczbę sposobów, na które n(n≥1) różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest wyrażona za pomocą wzoru n![12].
Kombinacją można nazwać liczbę sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤k≤n, zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona[13]. W przypadku kombinacji kolejność elementów nie ma znaczenia[14].
Silnia liczby naturalnej
Silnią (n!) liczby naturalnej, która jest większa od jeden nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich, które nie są większe od n[15].
Historia kombinatoryki
Dwa podstawowe zagadnienia kombinatoryki, jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki[16].
Przypisy
- ↑ Janiec E. (2006), Nowa Encyklopedia Podręczna PWN, s.441
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015), Warszawa
- ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka
- ↑ Zakrzewski M. (2018),Markowe Wykłady z Matematyki], s.3
Bibliografia
- Janiec E. (2006), Nowa Encyklopedia Podręczna PWN, „Wydawnictwo Naukowe PWN”, s.441
- Nowoświat K.(2014), Matematyka Europejczyka,„Helion“
- Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
- Wybrane wzory matematyczne (2015), Warszawa
- Zakrzewski M. (2018),Markowe Wykłady z Matematyki, „GiS”, Wrocław, s.3
Autor: Aleksandra Potejko