Kombinatoryka: Różnice pomiędzy wersjami

Z Encyklopedia Zarządzania
(Utworzono nową stronę)
 
Linia 1: Linia 1:
==Strona w opracowaniu==
'''Dział matematyczny''', który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych, które są tworzone w określony sposób, np. zbiór kombinacji, permutacji, wariacji. Zajmuje się zliczaniem sposobów zajścia zdarzenia losowego<ref>Janiec E. (2006), ''Nowa Encyklopedia Podręczna PWN'', s.441</ref>.
{{stub}}
 
==Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego==
Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi sposobami, między innymi<ref>''Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka'' (2021)</ref>:
-poprzez wypisanie wszystkich możliwości
- przy pomocy tabeli
- za pomocą grafu ( drzewka)
- stosując reguły dodawania i mnożenia
 
==Zasady stosowane w kombinatoryce ==
 
'''Podstawowa zasada kombinatoryki'''
Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać<ref>''Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka'' (2021)</ref>.
 
'''Reguła dodawania'''
Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie ''m+n'' sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów<ref>''Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka'' (2021)</ref>.
 
'''Reguła mnożenia'''
Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa ''m⋅n''<ref>''Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka'' (2021)</ref>.
W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa ''kmn''<ref>''Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka'' (2021)</ref>.
 
==Elementy kombinatoryki==
Do elementów kombinatoryki zaliczamy<ref>Rutkowski J. (2021), ''Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa''</ref>:
* '''permutacje'''
* '''kombinacje'''
* '''wariacje bez powtórzeń'''
* '''wariacje z powtórzeniami'''
 
==Wariacje, Permutacje, Kombinacje==
Według CKE '''wariacje z powtórzeniami''' to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z ''k'' niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa ''n<sup>k</sup>''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>."
Natomiast '''wariacją bez powtórzeń''' jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z ''n'' różnych elementów, składający się z ''k'' różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>: ''n!/(n-k)!''
'''Permutacją''' nazywamy liczbę sposobów, na które ''n(n≥1)'' różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest ona równa ''n!''<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015), Warszawa  </ref>.
'''Kombinacją''' można nazwać liczbę sposobów, na które spośród ''n'' różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤''k''≤''n'', zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona<ref>''Wybrane wzory matematyczne'' (2015)</ref>.
 
==Historia kombinatoryki==
Dwa podstawowe zagadnienia '''kombinatoryki''', jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki<ref>Zakrzewski M. (2018),
‘’Markowe Wykłady z Matematyki’’], s.3</ref>.
 
 
==Przypisy==
:
<references />
 
==Bibliografia==
:
*Janiec E. (2006), ‘’Nowa Encyklopedia Podręczna PWN’’, Wydawnictwo Naukowe PWN, s.441
* [https://docplayer.pl/123656567-Rachunek-prawdopodobienstwa-i-kombinatoryka.html ‘’Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka’’] (2021)
* Rutkowski J. (2021) [https://mleczko.students.wmi.amu.edu.pl/wp-content/uploads/2013/10/04-RachPrawdopod_14_15-student.pdf ''Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa'']
* [https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf ''Wybrane wzory matematyczne''] (2015), Warszawa 
* Zakrzewski M. (2018), [file:///C:/Users/User/Downloads/02328_gis_mat_dyskretna_fr.pdf ''Markowe Wykłady z Matematyki''], GiS, Wrocław, s.3
{{a|Aleksandra Potejko}}
[[Kategoria:Matematyka]]

Wersja z 21:36, 18 maj 2021

Dział matematyczny, który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych, które są tworzone w określony sposób, np. zbiór kombinacji, permutacji, wariacji. Zajmuje się zliczaniem sposobów zajścia zdarzenia losowego[1].

Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego

Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi sposobami, między innymi[2]: -poprzez wypisanie wszystkich możliwości - przy pomocy tabeli - za pomocą grafu ( drzewka) - stosując reguły dodawania i mnożenia

Zasady stosowane w kombinatoryce

Podstawowa zasada kombinatoryki Podejmując kilka niezależnych decyzji częściowych, dotyczących jednego całościowego wyboru mnożymy liczby decyzji, jeśli jednak dokonujemy wyborów wykluczających się, to liczby wyborów należy dodać[3].

Reguła dodawania Jeśli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B, zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, wyboru można dokonać na dokładnie m+n sposobów, przy czym zbiory te nie mają wspólnych elementów[4].

Reguła mnożenia Jeśli pierwsza czynność może zakończyć się na jeden z m sposobów, a druga na jeden z n sposobów to liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności jest równa m⋅n[5]. W ten sam sposób postępujemy w przypadku doświadczenie, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, wtedy jednak liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia jest równa kmn[6].

Elementy kombinatoryki

Do elementów kombinatoryki zaliczamy[7]:

  • permutacje
  • kombinacje
  • wariacje bez powtórzeń
  • wariacje z powtórzeniami

Wariacje, Permutacje, Kombinacje

Według CKE wariacje z powtórzeniami to:,, Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk[8]." Natomiast wariacją bez powtórzeń jest liczbą sposobów, na które można utworzyć ciąg z n różnych elementów, składający się z k różnych wyrazów, przy czym 1≤k≤n, jest równa[9]: n!/(n-k)! Permutacją nazywamy liczbę sposobów, na które n(n≥1) różnych elementów może zostać ustawiona w ciąg. Jest ona równa n![10]. Kombinacją można nazwać liczbę sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać ‘’k’’ elementów, przy czym 0≤k≤n, zapisujemy ją za pomocą Symbolu Newtona[11].

Historia kombinatoryki

Dwa podstawowe zagadnienia kombinatoryki, jakimi są liczba prenumeracji i kombinacji mają długą historię. Rozważane były już tysiąc lat temu w Indiach, Chinach i krajach Islamu. Przez dłuższy czas kombinatoryka była częścią prozodii, logiki, a nawet kwestii związanych z codziennym życiem. Kombinatoryka zaczęła nabierać bardziej naukowego charakteru razem z rozwojem prawdopodobieństwa. Po raz pierwszy termin kombinatoryka pojawił się w publikacji ,, Dissertatio de Arte Combinatoria” autorstwa Leibzniz’a w 1666 roku. Dopiero w połowie XX wieku kombinatoryka staje się jednym z głównych nurtów matematyki[12].


Przypisy

  1. ↑ Janiec E. (2006), Nowa Encyklopedia Podręczna PWN, s.441
  2. ↑ Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka (2021)
  3. ↑ Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka (2021)
  4. ↑ Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka (2021)
  5. ↑ Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka (2021)
  6. ↑ Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka (2021)
  7. ↑ Rutkowski J. (2021), Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
  8. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
  9. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
  10. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015), Warszawa
  11. ↑ Wybrane wzory matematyczne (2015)
  12. ↑ Zakrzewski M. (2018), ‘’Markowe Wykłady z Matematyki’’], s.3

Bibliografia

Autor: Aleksandra Potejko

Źródło: „https://mfiles.pl/pl/index.php?title=Kombinatoryka&oldid=121431”