Średnia harmoniczna: Różnice pomiędzy wersjami

Z Encyklopedia Zarządzania
m (Infobox update)
 
(LinkTitles.)
Linia 15: Linia 15:




'''Średnią harmoniczną''' należy do miar klasycznych. Używana jest w [[Statystyka|statystyce]] (dla danych różnych od zera), stanowi odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności danych statystycznych. Średnia ta, stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej np. jednostka prędkości (km/h), gęstość zaludnienia (ilość osób/km<math>^2</math>), pracochłonność lub w wyrażeniu [[Cena jednostkowa|ceny jednostkowej]] za 1 godzinę pracy (zł/h) (Fałda B., Zając J. 2017, s. 238).
'''Średnią harmoniczną''' należy do miar klasycznych. Używana jest w [[Statystyka|statystyce]] (dla danych różnych od zera), stanowi odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności danych statystycznych. [[Średnia]] ta, stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej np. jednostka prędkości (km/h), [[gęstość zaludnienia]] (ilość osób/km<math>^2</math>), [[pracochłonność]] lub w wyrażeniu [[Cena jednostkowa|ceny jednostkowej]] za 1 godzinę pracy (zł/h) (Fałda B., Zając J. 2017, s. 238).
   
   
Wykorzystanie średniej harmonicznej daje równą wagę każdej danej. Zastosowanie w tym przypadku średniej arytmetycznej dawałoby większą wagę danym o wyższej wartości, a przez to, średnia byłaby zawyżana.
Wykorzystanie średniej harmonicznej daje równą wagę każdej danej. Zastosowanie w tym przypadku średniej arytmetycznej dawałoby większą wagę danym o wyższej wartości, a przez to, średnia byłaby zawyżana.
Linia 22: Linia 22:
* Dla '''szeregu szczegółowego''' <math> \bar x_h </math> dla liczb <math> x_1, x_2,..., x_n </math> średnia jest wyrażona wzorem:
* Dla '''szeregu szczegółowego''' <math> \bar x_h </math> dla liczb <math> x_1, x_2,..., x_n </math> średnia jest wyrażona wzorem:
:<math> \bar x_h = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}}.</math>
:<math> \bar x_h = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}}.</math>
gdzie <math> n </math> to liczebność cech [[Próba|próby]], zaś <math> x_i </math> to wartość badanej cechy (Tadeusiewicz R. 1993, s. 32-33).
gdzie <math> n </math> to liczebność cech [[Próba|próby]], zaś <math> x_i </math> to [[wartość]] badanej cechy (Tadeusiewicz R. 1993, s. 32-33).
<google>t</google>
<google>t</google>
* '''Szeregi rozdzielcze''' dzielimy na '''punktowe''' i '''przedziałowe'''. Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych punktowych należy skorzystać ze wzoru:
* '''Szeregi rozdzielcze''' dzielimy na '''punktowe''' i '''przedziałowe'''. Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych punktowych należy skorzystać ze wzoru:
Linia 32: Linia 32:


==Przykładowe zadania ==
==Przykładowe zadania ==
'''Zadanie 1.'''
'''[[Zadanie]] 1.'''
[[Pracownik|Pracownicy]] produkcyjni wykonują zlecenie w 3 godziny. W tym czasie dwóch pracowników potrzebuje 20 minut na wykonanie [[Wyrób gotowy|wyrobu gotowego]], a dwóch pozostałych odpowiednio 15 minut i 10 minut. Należy obliczyć '''średni czas wykonania jednego wyrobu gotowego.'''  
[[Pracownik|Pracownicy]] produkcyjni wykonują zlecenie w 3 godziny. W tym czasie dwóch pracowników potrzebuje 20 minut na wykonanie [[Wyrób gotowy|wyrobu gotowego]], a dwóch pozostałych odpowiednio 15 minut i 10 minut. Należy obliczyć '''średni czas wykonania jednego wyrobu gotowego.'''  
:<math> \bar x_h = \frac{4}{\frac1{20} + \frac1{20} + \frac1{15} + \frac1{10}} = 15 minut</math>
:<math> \bar x_h = \frac{4}{\frac1{20} + \frac1{20} + \frac1{15} + \frac1{10}} = 15 minut</math>

Wersja z 19:58, 22 maj 2020

Średnia harmoniczna
Polecane artykuły


Średnią harmoniczną należy do miar klasycznych. Używana jest w statystyce (dla danych różnych od zera), stanowi odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności danych statystycznych. Średnia ta, stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej np. jednostka prędkości (km/h), gęstość zaludnienia (ilość osób/km), pracochłonność lub w wyrażeniu ceny jednostkowej za 1 godzinę pracy (zł/h) (Fałda B., Zając J. 2017, s. 238).

Wykorzystanie średniej harmonicznej daje równą wagę każdej danej. Zastosowanie w tym przypadku średniej arytmetycznej dawałoby większą wagę danym o wyższej wartości, a przez to, średnia byłaby zawyżana.

Wzory

W zależności od wybranego kryterium uporządkowania zebranych danych tj. szeregów statystycznych wyróżnia się dwie formuły do obliczenia średniej harmonicznej:

  • Dla szeregu szczegółowego dla liczb średnia jest wyrażona wzorem:

gdzie to liczebność cech próby, zaś to wartość badanej cechy (Tadeusiewicz R. 1993, s. 32-33).

  • Szeregi rozdzielcze dzielimy na punktowe i przedziałowe. Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych punktowych należy skorzystać ze wzoru:

gdzie to liczebność i-tej próby, to wartość badanej cechy w i-tej klasie, stanowi liczbę klas (przedziałów klasowych).

W przypadku szeregów rozdzielczych przedziałowych, należy dodatkowo wyznaczyć środki przedziałów klasowych , które wstawiamy do powyższego wzoru w miejsce konkretnych wariantów cechy . Należy również pamiętać o odpowiednim doborze jednostek tj. liczebności klas (wag). Wagę stanowi licznik jednostki natężenia np. dla cen (zł/kg) – wagą jest zł, dla produktywności (szt/h) – wagą jest ilość wytworzonych wyrobów (Michalski T. 2004, s. 104-105).

Przykładowe zadania

Zadanie 1. Pracownicy produkcyjni wykonują zlecenie w 3 godziny. W tym czasie dwóch pracowników potrzebuje 20 minut na wykonanie wyrobu gotowego, a dwóch pozostałych odpowiednio 15 minut i 10 minut. Należy obliczyć średni czas wykonania jednego wyrobu gotowego.

Wykonanie jednego wyrobu gotowego zajmuje średnio 15 minut.

Sprawdzenia poprawności wyniku można dokonać poprzez obliczenie ilości sztuk wyrobu gotowego wytworzonego przez każdego pracownika w danym czasie. I tak, w ciągu 3 godzin, czyli 180 minut, dwóch pracowników wykonało po 9 sztuk wyrobu gotowego, trzeci – 12 sztuk, zaś ostatni – 18 sztuk. Łącznie wykonali 48 sztuk wyrobu gotowego w ciągu 720 minut. Średni czas wykonania tego wyrobu obliczymy:

Zadanie 2. Na targowisku sprzedano za 100zł jabłka w cenie 2zł/kg oraz za 300zł jabłka w cenie 1,50zł/kg. Należy obliczyć przeciętną cenę jabłek na targowisku.

W zadaniu mamy do czynienia z jednostkami względnymi (zł/kg), zatem zastosuje się średnią harmoniczną dla szeregu rozdzielczego punktowego. Wyróżnia się dwie klasy - jedna 1,50zł/kg mierzona wartością 300zł, druga – 2zł/kg mierzona wartością 100zł. Obliczenia prezentują się następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bar x_h = \frac{300+100}{\frac1{1{,}5}\cdot 300 + \frac1{2}\cdot 100} = \frac{400}{200+50}= 1{,}6 zł/kg}

Średnia cena jabłek na targowisku wyniosła 1,6zł/kg (Michalski T. 2004, s. 105).

Bibliografia

  • Antoniewicz R. (2005). O średnich i przeciętnych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław
  • Fałda B., Zając J. (2017) Uwagi na temat średnich w ekonomii, Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych Tom XVIII/2, 2017, s. 232 – 241, Instytut Matematyki i Informatyki PWSZ w Chełmie
  • Kowalski J. (2006). Podstawy statystyki opisowej dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu
  • Michalski T. (2004). Statystyka, WSiP, Warszawa
  • Tadeusiewicz R. (1993). Bankowa obsługa państwowych funduszy celowych w Polsce, Wydawnictwa AGH, Kraków

Autor: Piotr Wyżga